5.4计数类DP
5.4.1 900. 整数划分
一个正整数 n 可以表示成若干个正整数之和，形如：n=n1+n2+…+nk，其中 n1≥n2≥…≥nk,k≥1。
我们将这样的一种表示称为正整数 n 的一种划分。
现在给定一个正整数 n，请你求出 n 共有多少种不同的划分方法。
输入格式
共一行，包含一个整数 n。
输出格式
共一行，包含一个整数，表示总划分数量。
由于答案可能很大，输出结果请对 109+7 取模。
数据范围
1≤n≤1000
输入样例:
5
输出样例：
7
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int N=1010,mod=1e9+7; int f[N]; int main() { int n; cin>>n; f[0]=1; for(int i=1;i<=n;i++) { for(int j=i;j<=n;j++) { f[j]=(f[j]+f[j-i])%mod; } } cout<<f[n]; return 0; }
5.5数位统计DP
5.5.1 338. 计数问题
给定两个整数 a 和 b，求 a 和 b 之间的所有数字中 0∼9 的出现次数。
例如，a=1024，b=1032，则 a 和 b 之间共有 9 个数如下：
1024 1025 1026 1027 1028 1029 1030 1031 1032
其中 0 出现 10 次，1 出现 10 次，2 出现 7 次，3 出现 3 次等等…
输入格式
输入包含多组测试数据。
每组测试数据占一行，包含两个整数 a 和 b。
当读入一行为 0 0 时，表示输入终止，且该行不作处理。
输出格式
每组数据输出一个结果，每个结果占一行。
每个结果包含十个用空格隔开的数字，第一个数字表示 0 出现的次数，第二个数字表示 1 出现的次数，以此类推。
数据范围
0<a,b<100000000
输入样例：
1 10
44 497
346 542
1199 1748
1496 1403
1004 503
1714 190
1317 854
1976 494
1001 1960
0 0
输出样例：
1 2 1 1 1 1 1 1 1 1
85 185 185 185 190 96 96 96 95 93
40 40 40 93 136 82 40 40 40 40
115 666 215 215 214 205 205 154 105 106
16 113 19 20 114 20 20 19 19 16
107 105 100 101 101 197 200 200 200 200
413 1133 503 503 503 502 502 417 402 412
196 512 186 104 87 93 97 97 142 196
398 1375 398 398 405 499 499 495 488 471
294 1256 296 296 296 296 287 286 286 247
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; int get(vector<int> num,int l,int r) { int res=0; for(int i=l;i>=r;i--) res=res*10+num[i]; return res; } int power10(int x) { int res=1; while(x--) res*=10; return res; } int mycount(int n,int x) { if(!n) return 0; vector<int> num; while(n) { num.push_back(n%10); n/=10; } n=num.size(); int res=0; for(int i=n-1-!x;i>=0;i--) { if(i<n-1) { res+=get(num,n-1,i+1)*power10(i); if(!x) res-=power10(i); } if(num[i]==x) res+=get(num,i-1,0)+1; else if(num[i]>x) res+=power10(i); } return res; } int main() { int a,b; while(cin>>a>>b) { if(a==0&&b==0) break; if(a>b) swap(a,b); for(int i=0;i<10;i++) cout<<mycount(b,i)-mycount(a-1,i)<<" "; cout<<endl; } return 0; }
5.6状态压缩DP
5.6.1 291. 蒙德里安的梦想
求把 N×M 的棋盘分割成若干个 1×2 的的长方形，有多少种方案。
例如当 N=2，M=4 时，共有 5 种方案。当 N=2，M=3 时，共有 3 种方案。
如下图所示：
输入格式
输入包含多组测试用例。
每组测试用例占一行，包含两个整数 N 和 M。
当输入用例 N=0，M=0 时，表示输入终止，且该用例无需处理。
输出格式
每个测试用例输出一个结果，每个结果占一行。
数据范围
1≤N,M≤11
输入样例：
1 2
1 3
1 4
2 2
2 3
2 4
2 11
4 11
0 0
输出样例：
1
0
1
2
3
5
144
51205
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int N=12,M=1<<N; int n,m; long long f[N][M]; bool st[M]; int main() { int n,m; while(cin>>n>>m) { if(n==0&&m==0) break; for(int i=0;i<1<<n;i++) { int cnt=0; st[i]=true; for(int j=0;j<n;j++) { if(i>>j&1) { if(cnt&1) st[i]=false; cnt=0; } else cnt++; } if(cnt&1) st[i]=false; } fill(f[0],f[0]+N*M,0); f[0][0]=1; for(int i=1;i<=m;i++) { for(int j=0;j<1<<n;j++) { for(int k=0;k<1<<n;k++) { if((j&k)==0&&st[j|k]) f[i][j]+=f[i-1][k]; } } } cout<<f[m][0]<<endl; } return 0; }
5.6.2 91. 最短Hamilton路径
给定一张 n 个点的带权无向图，点从 0∼n−1 标号，求起点 0 到终点 n−1 的最短 Hamilton 路径。
Hamilton 路径的定义是从 0 到 n−1 不重不漏地经过每个点恰好一次。
输入格式
第一行输入整数 n。
接下来 n 行每行 n 个整数，其中第 i 行第 j 个整数表示点 i 到 j 的距离（记为 a[i,j]）。
对于任意的 x,y,z，数据保证 a[x,x]=0，a[x,y]=a[y,x] 并且 a[x,y]+a[y,z]≥a[x,z]。
输出格式
输出一个整数，表示最短 Hamilton 路径的长度。
数据范围
1≤n≤20
0≤a[i,j]≤107
输入样例：
5
0 2 4 5 1
2 0 6 5 3
4 6 0 8 3
5 5 8 0 5
1 3 3 5 0
输出样例：
18
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int N=20,M=1<<20,INF=1e9; int n; int f[M][N],weight[N][N]; int main() { cin>>n; for(int i=0;i<n;i++) { for(int j=0;j<n;j++) { cin>>weight[i][j]; } } fill(f[0],f[0]+M*N,INF); f[1][0]=0; for(int i=0;i<1<<n;i++) { for(int j=0;j<n;j++) { if(i>>j&&1) { for(int k=0;k<n;k++) { if(i-(1<<j)>>k&1) { f[i][j]=min(f[i][j],f[i-(1<<j)][k]+weight[k][j]); } } } } } cout<<f[(1<<n)-1][n-1]; return 0; }
5.7树形DP
5.7.1 285. 没有上司的舞会
Ural 大学有 N 名职员，编号为 1∼N。
他们的关系就像一棵以校长为根的树，父节点就是子节点的直接上司。
每个职员有一个快乐指数，用整数 Hi 给出，其中 1≤i≤N。
现在要召开一场周年庆宴会，不过，没有职员愿意和直接上司一起参会。
在满足这个条件的前提下，主办方希望邀请一部分职员参会，使得所有参会职员的快乐指数总和最大，求这个最大值。
输入格式
第一行一个整数 N。
接下来 N 行，第 i 行表示 i 号职员的快乐指数 Hi。
接下来 N−1 行，每行输入一对整数 L,K，表示 K 是 L 的直接上司。
输出格式
输出最大的快乐指数。
数据范围
1≤N≤6000,
−128≤Hi≤127
输入样例：
7
1
1
1
1
1
1
1
1 3
2 3
6 4
7 4
4 5
3 5
输出样例：
5
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int N=6010; int n; int happy[N]; int h[N],e[N],ne[N],idx; int f[N][2]; bool has_father[N]; void add(int a,int b) { e[idx]=b,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++; } void dfs(int u) { f[u][1]=happy[u]; for(int i=h[u];i!=-1;i=ne[i]) { int j=e[i]; dfs(j); f[u][0]+=max(f[j][0],f[j][1]); f[u][1]+=f[j][0]; } } int main() { cin>>n; for(int i=1;i<=n;i++) cin>>happy[i]; fill(h,h+N,-1); for(int i=0;i<n-1;i++) { int a,b; cin>>a>>b; add(b,a); has_father[a]=true; } for(int i=1;i<=n;i++) { if(!has_father[i]) { dfs(i); cout<<max(f[i][0],f[i][1]); break; } } return 0; }
5.8记忆化搜索
5.8.1 901. 滑雪
给定一个 R 行 C 列的矩阵，表示一个矩形网格滑雪场。
矩阵中第 i 行第 j 列的点表示滑雪场的第 i 行第 j 列区域的高度。
一个人从滑雪场中的某个区域内出发，每次可以向上下左右任意一个方向滑动一个单位距离。
当然，一个人能够滑动到某相邻区域的前提是该区域的高度低于自己目前所在区域的高度。
下面给出一个矩阵作为例子：
1 2 3 4 5
16 17 18 19 6
15 24 25 20 7
14 23 22 21 8
13 12 11 10 9
在给定矩阵中，一条可行的滑行轨迹为 24−17−2−1。
在给定矩阵中，最长的滑行轨迹为 25−24−23−…−3−2−1，沿途共经过 25 个区域。
现在给定你一个二维矩阵表示滑雪场各区域的高度，请你找出在该滑雪场中能够完成的最长滑雪轨迹，并输出其长度(可经过最大区域数)。
输入格式
第一行包含两个整数 R 和 C。
接下来 R 行，每行包含 C 个整数，表示完整的二维矩阵。
输出格式
输出一个整数，表示可完成的最长滑雪长度。
数据范围
1≤R,C≤300,
0≤矩阵中整数≤10000
输入样例：
5 5
1 2 3 4 5
16 17 18 19 6
15 24 25 20 7
14 23 22 21 8
13 12 11 10 9
输出样例：
25
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int N=310; int r,c; int g[N][N]; int f[N][N]; int X[4]={0,0,1,-1},Y[4]={1,-1,0,0}; int dp(int x,int y) { int &v=f[x][y]; if(v!=-1) return v; v=1; for(int i=0;i<4;i++) { int a=x+X[i],b=y+Y[i]; if(a>=1&&a<=r&&b>=1&&b<=c&&g[a][b]<g[x][y]) { v=max(v,dp(a,b)+1); } } return v; } int main() { cin>>r>>c; for(int i=1;i<=r;i++) for(int j=1;j<=c;j++) cin>>g[i][j]; fill(f[0],f[0]+N*N,-1); int res=0; for(int i=1;i<=r;i++) { for(int j=1;j<=c;j++) { res=max(res,dp(i,j)); } } cout<<res<<endl; return 0; }
