漫画：什么是堆排序？

在上一篇漫画中，小灰介绍了 二叉堆 这样一种强大的数据结构：

漫画：什么是二叉堆？（修正版）

那么，这个二叉堆怎样来使用呢？我们这一期将会详细讲述。

让我们回顾一下二叉堆和最大堆的特性：

1.二叉堆本质上是一种完全二叉树

2.最大堆的堆顶是整个堆中的最大元素

当我们删除一个最大堆的堆顶（并不是完全删除，而是替换到最后面），经过自我调节，第二大的元素就会被交换上来，成为最大堆的新堆顶。

正如上图所示，当我们删除值为10的堆顶节点，经过调节，值为9的新节点就会顶替上来；当我们删除值为9的堆顶节点，经过调节，值为8的新节点就会顶替上来.......

由于二叉堆的这个特性，我们每一次删除旧堆顶，调整后的新堆顶都是大小仅次于旧堆顶的节点。那么我们只要反复删除堆顶，反复调节二叉堆，所得到的集合就成为了一个有序集合，过程如下：

删除节点9，节点8成为新堆顶：

删除节点8，节点7成为新堆顶：

删除节点7，节点6成为新堆顶：

删除节点6，节点5成为新堆顶：

删除节点5，节点4成为新堆顶：

删除节点4，节点3成为新堆顶：

删除节点3，节点2成为新堆顶：

到此为止，我们原本的最大堆已经变成了一个从小到大的有序集合。之前说过二叉堆实际存储在数组当中，数组中的元素排列如下：

由此，我们可以归纳出堆排序算法的步骤：

1. 把无序数组构建成二叉堆。

2. 循环删除堆顶元素，移到集合尾部，调节堆产生新的堆顶。

public class HeapSort {

1. /**
2. * 下沉调整
3. * @param array     待调整的堆
4. * @param parentIndex    要下沉的父节点
5. * @param parentIndex    堆的有效大小
6. */
7. public static void downAdjust(int[] array, int parentIndex, int length) {
8.    // temp保存父节点值，用于最后的赋值
9.    int temp = array[parentIndex];
10.    int childIndex = 2 * parentIndex + 1;
11.    while (childIndex < length) {
12.        // 如果有右孩子，且右孩子大于左孩子的值，则定位到右孩子
13.        if (childIndex + 1 < length && array[childIndex + 1] > array[childIndex]) {
14.            childIndex++;
15.        }
16.        // 如果父节点小于任何一个孩子的值，直接跳出
17.        if (temp >= array[childIndex])
18.            break;
19.        //无需真正交换，单向赋值即可
20.        array[parentIndex] = array[childIndex];
21.        parentIndex = childIndex;
22.        childIndex = 2 * childIndex + 1;
23.    }
24.    array[parentIndex] = temp;
25. }
26. 

28. /**
29. * 堆排序
30. * @param array     待调整的堆
31. */
32. public static void heapSort(int[] array) {
33.    // 1.把无序数组构建成二叉堆。
   for (int i = (array.length-2)/
2; i >= 0; i--) {
34.        downAdjust(array, i, array.length);
35.    }
36.    System.out.println(Arrays.toString(array));
37.    // 2.循环删除堆顶元素，移到集合尾部，调节堆产生新的堆顶。
38.    for (int i = array.length - 1; i > 0; i--) {
39.        // 最后一个元素和第一元素进行交换
40.        int temp = array[i];
41.        array[i] = array[0];
42.        array[0] = temp;
43.        // 下沉调整最大堆
44.        downAdjust(array, 0, i);
45.    }
46. }
47. 

49. public static void main(String[] args) {
50.    int[] arr = new int[] {1,3,2,6,5,7,8,9,10,0};
51.    heapSort(arr);
52.    System.out.println(Arrays.toString(arr));
53. }

}

二叉堆的节点下沉调整（downAdjust 方法）是堆排序算法的基础，这个调节操作本身的时间复杂度是多少呢？

假设二叉堆总共有n个元素，那么下沉调整的最坏时间复杂度就等同于二叉堆的高度，也就是O（logn）。

我们再来回顾一下堆排序算法的步骤：

1. 把无序数组构建成二叉堆。

2. 循环删除堆顶元素，移到集合尾部，调节堆产生新的堆顶。

第一步，把无序数组构建成二叉堆，需要进行n/2次循环。每次循环调用一次 downAdjust 方法，所以第一步的计算规模是  n/2 * logn，时间复杂度 O（nlogn）。

第二步，需要进行n-1次循环。每次循环调用一次 downAdjust 方法，所以第二步的计算规模是 （n-1） * logn ，时间复杂度 O（nlogn）。

两个步骤是并列关系，所以整体的时间复杂度同样是 O（nlogn）。

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