一.主成分分析（Principal Component Analysis，PCA）
（1）简介
最常用的一种降维方法，通常用于高维数据集的探索与可视化，还可以用作数据压缩和预处理等。
PCA可以把具有相关性的高维变量合成为线性无关的低维变量，称为主成分。主成分能够尽可能保留原始数据的信息。
（2）复习相关术语
• 方差：各个样本和样本均值的差的平方和的均值，用来度量一组数据的分散程度。
• 协方差：用于度量两个变量之间的线性相关性程度，若两个变量的协方差为0，则可认为二者线性无关。协方差矩阵则是由变量的协方差值构成的矩阵（对称阵）。
• 协方差矩阵
• 特征向量和特征值
特征向量：矩阵的特征向量是描述数据集结构的非零向量，并满足如下公式：
A是方阵， 𝒗是特征向量，𝝀是特征值。
（3）PCA原理
矩阵的主成分就是其协方差矩阵对应的特征向量，按照对应的特征值大小进行排序，最大的特征值就是第一主成分，其次是第二主成分，以此类推。
sklearn中主成分分析
在sklearn库中，可以使用sklearn.decomposition.PCA加载PCA进行降维，主要参数有：
• n_components：指定主成分的个数，即降维后数据的维度
• svd_solver ：设置特征值分解的方法，默认为‘auto’,其他可选有
‘full’, ‘arpack’, ‘randomized’。
（4）鸢尾花实例
目标：已知鸢尾花数据是4维的，共三类样本。使用PCA实现对鸢尾花数据进行降维，实现在二维平面上的可视化。
import matplotlib.pyplot as plt #加载matplotlib用于数据的可视化 from sklearn.decomposition import PCA #加载PCA算法包 from sklearn.datasets import load_iris #加载鸢尾花数据集到输入函数 data = load_iris() #以字典形式加载鸢尾花数据集 y = data.target #使用y表示数据集中的标签 X = data.data #使用X表示数据集中的属性数据 pca = PCA(n_components=2) #加载PCA算法，设置降维后主成分数目为2 reduced_X = pca.fit_transform(X) #对原始数据进行降维，保存在reduced_X中 #按照类别对降维后的数据进行保存 red_x, red_y = [], [] blue_x, blue_y = [], [] green_x, green_y = [], [] for i in range(len(reduced_X)): if y[i] == 0: red_x.append(reduced_X[i][0]) red_y.append(reduced_X[i][1]) elif y[i] == 1: blue_x.append(reduced_X[i][0]) blue_y.append(reduced_X[i][1]) else: green_x.append(reduced_X[i][0]) green_y.append(reduced_X[i][1]) #按照鸢尾花的类别将降维后的数据点保存在不同的列表中 plt.scatter(red_x, red_y, c='r', marker='x') plt.scatter(blue_x, blue_y, c='b', marker='D') plt.scatter(green_x, green_y, c='g', marker='.') plt.show()
结果输出：
由上图可以看出降维后的数据清晰分成3类，得以削减数据的维度，降低分类任务的工作量，保证分类质量。
