1486. 数组异或操作：
给你两个整数，n 和 start 。
数组 nums 定义为：nums[i] = start + 2 * i（下标从 0 开始）且 n == nums.length 。
请返回 nums 中所有元素按位异或（XOR）后得到的结果。
样例 1
输入：
n = 5, start = 0
输出：
8
解释：
数组 nums 为 [0, 2, 4, 6, 8]，其中 (0 ^ 2 ^ 4 ^ 6 ^ 8) = 8 。
"^" 为按位异或 XOR 运算符。
样例 2
输入：
n = 4, start = 3
输出：
8
解释：
数组 nums 为 [3, 5, 7, 9]，其中 (3 ^ 5 ^ 7 ^ 9) = 8.
样例 3
输入：
n = 1, start = 7
输出：
7
样例 4
输入：
n = 10, start = 5
输出：
2
提示
- 1 <= n <= 1000
- 0 <= start <= 1000
- n == nums.length
分析
我们可以直接按照题意，暴力循环，那么时间复杂度就是O(n)，是否有时间复杂度为O(1)的算法呢？
记x为变量，^是异或操作，则异或运算满足以下性质：
- x ^ x = 0；
- x ^ 0 = x；
- x ^ y = y ^ x（交换律）；
- (x ^ y) ^ z = x ^ (y ^ z)（结合律）；
- x ^ y ^ y = x（自反性）；
- 如果x是4的倍数，x ^ (x + 1) ^ (x + 2) ^ (x + 3) = 0；
- 本题要计算的 结果公式 为：start ^ (start + 2) ^ (start + 4) ^ ⋯ ^(start + 2 * (n − 1))。
- 如果有一个函数 sumXor(x) 可以计算 0 ^ 1 ^ 2 ^ ⋯ ^ x 。
- 对于某变量x和n，计算sumXor(s - 1) ^ sumXor(s + n - 1)的结果，根据上面的 性质1 可以将 0 ^ 1 ^ 2 ^ ... ^ (s - 1) 的值抵消为0，就变成 0 ^ s ^ (s + 1) ^ (s + 2) ^ ⋯ ^ (s + n - 1) ，根据 性质2 可知与0做异或操作还是自己，最后结果就变成 s ^ (s + 1) ^ (s + 2) ^ ⋯ ^ (s + n - 1) ，这个结果很接近我们要计算的内容。
- 如果我们令 s = start / 2 ，把 结果公式 转换成 (s ^ (s + 1) ^ (s + 2) ^ ⋯ ^ (s + n - 1)) * 2，这样并不成立，因为在做除以2的操作时，最低位丢失了，但是我们可以单独处理最低位。
- 观察 结果公式 可知 (start + 2)，(start + 4) ，... ，(start + 2 * (n − 1)) 的奇偶性质相同，而且和start一致，也就是最低位要么都是0，要么都是1，只有基数个1做异或操作时才会是1。也就是只有start是奇数并且n是奇数的时候，最终结果的最低位 e 才会是1。
- 这时 结果公式 可以转化为： ((sumXor(s - 1) ^ sumXor(s + n - 1)) * 2) | e 。
只要我们可以实现函数sumXor(x)，那么题目计算就可以做到O(1)的时间复杂度，根据 性质6 和 性质2 我们只需要考虑x除以4的余数，也就是最低2位，可以得到如下推导：
x % 4 = 0 的二进制位：xx...x00
x % 4 = 1 的二进制位：xx...x01
x % 4 = 2 的二进制位：xx...x10
x % 4 = 3 的二进制位：xx...x11
- x % 4 = 0，sumXor(x) = x；
- x % 4 = 1，sumXor(x) = (x - 1) ^ x，简化可得 sumXor(x) = 1；
- x % 4 = 2，sumXor(x) = (x - 2) ^ (x - 1) ^ x，简化可得 sumXor(x) = x | 1；
- x % 4 = 3，sumXor(x) = 0；
- x % 4 等同于 x & 3 的操作，而且理论上 & 操作要比 % 操作更快；
题解
java
class Solution {
public int xorOperation(int n, int start) {
int s = start >> 1, e = n & start & 1;
int ret = sumXor(s - 1) ^ sumXor(s + n - 1);
return ret << 1 | e;
}
public int sumXor(int x) {
switch (x & 3) {
case 0:
return x;
case 1:
return 1;
case 2:
return x | 1;
default:
// x & 3 == 3
return 0;
}
}
}c
int xorOperation(int n, int start) {
int s = start >> 1, e = n & start & 1;
int ret = sumXor(s - 1) ^ sumXor(s + n - 1);
return ret << 1 | e;
}
int sumXor(int x) {
switch (x & 3) {
case 0:
return x;
case 1:
return 1;
case 2:
return x | 1;
default:
// x & 3 == 3
return 0;
}
}c++
class Solution {
public:
int xorOperation(int n, int start) {
int s = start >> 1, e = n & start & 1;
int ret = sumXor(s - 1) ^ sumXor(s + n - 1);
return ret << 1 | e;
}
int sumXor(int x) {
switch (x & 3) {
case 0:
return x;
case 1:
return 1;
case 2:
return x | 1;
default:
// x & 3 == 3
return 0;
}
}
};python
class Solution:
def xorOperation(self, n: int, start: int) -> int:
def sumXor(x):
if x % 4 == 0:
return x
if x % 4 == 1:
return 1
if x % 4 == 2:
return x | 1
return 0
s = start >> 1
e = n & start & 1
ans = sumXor(s - 1) ^ sumXor(s + n - 1)
return ans << 1 | ego
func xorOperation(n, start int) (ans int) {
s, e := start>>1, n&start&1
ret := sumXor(s-1) ^ sumXor(s+n-1)
return ret<<1 | e
}
func sumXor(x int) int {
switch x & 3 {
case 0:
return x
case 1:
return 1
case 2:
return x | 1
default:
return 0
}
}rust
impl Solution {
pub fn xor_operation(n: i32, start: i32) -> i32 {
let s = start >> 1;
let e = n & start & 1;
let ret = Solution::sum_xor(s - 1) ^ Solution::sum_xor(s + n - 1);
return ret << 1 | e
}
fn sum_xor(x: i32) -> i32 {
match x & 3 {
0 => x,
1 => 1,
2 => x | 1,
_ => 0
}
}
}
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