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一、集合排列、分步处理示例
排列组合参考博客 :
【组合数学】基本计数原则 ( 加法原则 | 乘法原则 )
【组合数学】集合的排列组合问题示例 ( 排列 | 组合 | 圆排列 | 二项式定理 )
【组合数学】排列组合 ( 排列组合内容概要 | 选取问题 | 集合排列 | 集合组合 )
【组合数学】排列组合 ( 排列组合示例 )
【组合数学】排列组合 ( 多重集排列 | 多重集全排列 | 多重集非全排列 所有元素重复度大于排列数 | 多重集非全排列 某些元素重复度小于排列数 )
【组合数学】排列组合 ( 多重集组合数 | 所有元素重复度大于组合数 | 多重集组合数 推导 1 分割线推导 | 多重集组合数 推导 2 不定方程非负整数解个数推导 )
【组合数学】排列组合 ( 多重集组合数示例 | 三个计数模型 | 选取问题 | 多重集组合问题 | 不定方程非负整数解问题 )
【组合数学】排列组合 ( 两个计数原则、集合排列示例 | 集合排列、圆排列示例 )
【组合数学】排列组合 ( 集合组合、一一对应模型分析示例 )
一、集合排列、分步处理示例
有 9 99 本不同的书 , 4 44 本红皮 , 5 55 本白皮 ;
1. 9 99 本书的排列方式 :
9 99 本书 , 每本书都是不同的 , 元素不重复 , 排列方式指的是有序选取 ,
因此这里 元素不重复 , 有序选取 , 对应的是 集合的排列 , 使用集合排列公式 ;
N = P ( n , r ) = P ( 9 , 9 ) = 9 ! ( 9 − 9 ) ! = 9 ! N = P(n,r) = P(9, 9) = \cfrac{9!}{(9-9)!} = 9!
N=P(n,r)=P(9,9)=
(9−9)!
9!
=9!
★ 排列数与组合数回顾 :
排列数 : n nn 元集 S SS , 从 S SS 集合中 有序 , 不重复 选取 r rr 个元素 , P ( n , r ) = n ! ( n − r ) ! P(n,r) = \dfrac{n!}{(n-r)!}P(n,r)=
(n−r)!
n!
组合数 : n nn 元集 S SS , 从 S SS 集合中 无序 , 不重复 选取 r rr 个元素 , C ( n , r ) = P ( n , r ) r ! n ! ( n − r ) ! r ! C(n,r) = \dfrac{P(n,r)}{r!} \dfrac{n!}{(n-r)!r!}C(n,r)=
r!
P(n,r)
(n−r)!r!
n!
参考 : 【组合数学】排列组合 ( 排列组合内容概要 | 选取问题 | 集合排列 | 集合组合 )
2. 白皮书放在一起的排列方式 :
分步处理 : 需要进行分步处理 , 先将白皮书排列好 , 然后将 所有白皮书 当做一个元素 , 与红皮书进行排序 ;
( 1 ) 第 1 11 步 : 5 55 本白皮书放在一起 , 排列方式就是 元素不重复 有序选取 , 是集合的排列 ;
N = P ( n , r ) = P ( 5 , 5 ) = 5 ! ( 5 − 5 ) ! = 5 ! N = P(n,r) = P(5, 5) = \cfrac{5!}{(5-5)!} = 5!
N=P(n,r)=P(5,5)=
(5−5)!
5!
=5!
( 2 ) 第 2 22 步 : 4 44 本红皮书 , 与一组白皮书 进行排序 , 有 5 55 个元素 , 将其进行全排列 ;
N = P ( n , r ) = P ( 5 , 5 ) = 5 ! ( 5 − 5 ) ! = 5 ! N = P(n,r) = P(5, 5) = \cfrac{5!}{(5-5)!} = 5!
N=P(n,r)=P(5,5)=
(5−5)!
5!
=5!
( 3 ) 分步汇总 ( 乘法原则 ) : 将上述两个步骤的排列方案个数相乘 , 就是最终结果 ;
N = 5 ! 5 ! N = 5! \ 5!
N=5! 5!
3. 白皮书放在一起 , 红皮书放在一起 的排列方式 :
分步处理 : 需要进行分步处理 ,
先将白皮书排列好 ;
再将红皮书排列好 ;
最后将 所有白皮书 当做一个元素 , 所有的红皮书当做一个元素 , 将上述两个元素进行排列 ;
( 1 ) 第 1 11 步 : 5 55 本白皮书放在一起 , 排列方式就是 元素不重复 有序选取 , 是集合的排列 ;
N = P ( n , r ) = P ( 5 , 5 ) = 5 ! ( 5 − 5 ) ! = 5 ! N = P(n,r) = P(5, 5) = \cfrac{5!}{(5-5)!} = 5!
N=P(n,r)=P(5,5)=
(5−5)!
5!
=5!
( 2 ) 第 2 22 步 : 4 44 本红皮书放在一起 , 排列方式就是 元素不重复 有序选取 , 是集合的排列 ;
N = P ( n , r ) = P ( 4 , 4 ) = 4 ! ( 4 − 4 ) ! = 4 ! N = P(n,r) = P(4, 4) = \cfrac{4!}{(4-4)!} = 4!
N=P(n,r)=P(4,4)=
(4−4)!
4!
=4!
( 3 ) 第 3 33 步 : 最后将 所有白皮书 当做一个元素 , 所有的红皮书当做一个元素 , 将上述两个元素进行排列 ;
N = P ( n , r ) = P ( 2 , 2 ) = 2 ! ( 2 − 2 ) ! = 2 ! N = P(n,r) = P(2, 2) = \cfrac{2!}{(2-2)!} = 2!
N=P(n,r)=P(2,2)=
(2−2)!
2!
=2!
( 4 ) 分步汇总 ( 乘法原则 ) : 将上述 3 33 个步骤的排列方案个数相乘 , 就是最终结果 ;
N = 5 ! 4 ! 2 ! N = 5! \ 4! \ 2!
N=5! 4! 2!
4. 白皮书和红皮书相间排列 的排列方式 :
分步处理 : 需要进行分步处理 ,
先将白皮书排列好 ;
再将红皮书插空放入 ;
( 1 ) 第 1 11 步 : 5 55 本白皮书放在一起 , 排列方式就是 元素不重复 有序选取 , 是集合的排列 ;
N = P ( n , r ) = P ( 5 , 5 ) = 5 ! ( 5 − 5 ) ! = 5 ! N = P(n,r) = P(5, 5) = \cfrac{5!}{(5-5)!} = 5!
N=P(n,r)=P(5,5)=
(5−5)!
5!
=5!
( 2 ) 第 2 22 步 : 5 55 本白皮书排列形成了 4 44 个空位 , 将红皮书插空放入 4 44 个位置 , 即集合全排列 ;
N = P ( n , r ) = P ( 4 , 4 ) = 4 ! ( 4 − 4 ) ! = 4 ! N = P(n,r) = P(4, 4) = \cfrac{4!}{(4-4)!} = 4!
N=P(n,r)=P(4,4)=
(4−4)!
4!
=4!
( 3 ) 分步汇总 ( 乘法原则 ) : 将上述 2 22 个步骤的排列方案个数相乘 , 就是最终结果 ;
N = 5 ! 4 ! N = 5! \ 4!
N=5! 4!
