开发者社区> 韩曙亮> 正文

【集合论】序关系 ( 偏序关系 | 偏序集 | 偏序集示例 )

简介: 【集合论】序关系 ( 偏序关系 | 偏序集 | 偏序集示例 )
+关注继续查看

文章目录

一、偏序关系

二、偏序集

三、偏序关系示例 ( 大于等于、小于等于、整除 | 有序对元素是单个数值 )

四、偏序关系示例 2 ( 包含关系 | 有序对元素是集合 )

五、偏序关系示例 3 ( 加细关系 | 有序对元素是集族 )





一、偏序关系


偏序关系 :


给定非空集合 A AA , A ≠ ∅ A \not= \varnothingA


=∅ , R RR 关系是 A AA 集合上的二元关系 , R ⊆ A × A R \subseteq A \times AR⊆A×A ,

如果 R RR 关系满足以下性质 :


自反 : 关系图中所有顶点 都有环 ;

反对称 : 两个顶点之间 有 0 00 个或 1 11 个有向边 ;

传递 : 前提 a → b , b → c a \to b , b\to ca→b,b→c 不成立 默认传递 ; 前提 a → b , b → c a \to b , b\to ca→b,b→c 成立 必须满足 a → c a \to ca→c 存在 ;

则称 R RR 关系是 A AA 集合上的 偏序关系 ;


偏序关系表示 : 使用 ≼ \preccurlyeq≼ 符号表示偏序关系 , 读作 “小于等于” ;


符号化表示 : < x , y > ∈ R ⇔ x R y ⇔ x ≼ y <x,y> \in R \Leftrightarrow xRy \Leftrightarrow x \preccurlyeq y<x,y>∈R⇔xRy⇔x≼y , 解读 : < x , y > <x,y><x,y> 有序对在偏序关系 R RR 中 , 则 x xx 与 y yy 之间有 R RR 关系 , x xx 小于等于 y yy ;



等价关系 是用于 分类 的 , 偏序关系 是用于 组织 的 , 在每个类的内部 , 赋予一个结构 ;






二、偏序集


偏序集 :


≼ \preccurlyeq≼ 关系 是 A AA 集合上的偏序关系 , 则称 集合 A AA 与 偏序关系 ≼ \preccurlyeq≼ 构成的 有序对 < A , ≼ > <A, \preccurlyeq><A,≼> 称为偏序集 ;


如果集合上有偏序关系 , 那么这个集合就称为偏序集 ;






三、偏序关系示例 ( 大于等于、小于等于、整除 | 有序对元素是单个数值 )


大于等于、小于等于、整除关系 是 有序对集合 , 其中每个 有序对的元素 是 单个数值元素 ;



1. 大于等于、小于等于关系


∅ ≠ A ⊆ R \varnothing \not=A \subseteq R∅


=A⊆R , 非空集合 A AA , 是实数集 R RR 的子集 ;


集合 A AA 上的大于等于关系 , 小于等于关系 , 都是偏序关系 , 这两个关系都满足 自反 , 反对称 , 传递 关系 ;


偏序集表示为 : < A , ≤ > , < A , ≥ > <A , \leq> , <A, \geq><A,≤>,<A,≥>


大于等于关系集合表示 : ≥ = { < x , y >   ∣ x , y ∈ A ∧ x ≥ y } \geq = \{<x, y>\ | x,y \in A \land x \geq y \}≥={<x,y> ∣x,y∈A∧x≥y}


小于等于关系集合表示 : ≤ = { < x , y >   ∣ x , y ∈ A ∧ x ≤ y } \leq = \{<x, y>\ | x,y \in A \land x \leq y \}≤={<x,y> ∣x,y∈A∧x≤y}




2. 整除关系


∅ ≠ A ⊆ Z + = { x ∣ x ∈ Z ∧ x > 0 } \varnothing \not=A \subseteq Z_+ = \{ x | x \in Z \land x > 0 \}∅


=A⊆Z

+


={x∣x∈Z∧x>0} , 非空集合 A AA , 是正整数集 Z + Z_+Z

+


 的子集 ;


集合 A AA 上的 整除关系 是偏序关系 , 整除关系都满足 自反 , 反对称 , 传递 关系 ;


偏序集表示为 : < A , ∣ > <A , |><A,∣>


整除关系集合表示 : ∣ = { < x , y >   ∣ x , y ∈ A ∧ x ∣ y } |= \{<x, y>\ | x,y \in A \land x | y \}∣={<x,y> ∣x,y∈A∧x∣y}



x xx 整除 y yy , x ∣ y x|yx∣y , x xx 是除数 (分子) , y yy 是被除数 (分母) ; y x \dfrac{y}{x}

x

y


参考 : 【集合论】二元关系 ( 特殊关系类型 | 空关系 | 恒等关系 | 全域关系 | 整除关系 | 大小关系 ) 三、 整除关系






四、偏序关系示例 2 ( 包含关系 | 有序对元素是集合 )


包含关系 是 有序对集合 , 其中每个 有序对的元素 是 集合 ;


集族 A \mathscr{A}A 包含于 A AA 集合的幂集 , A ⊆ P ( A ) \mathscr{A}\subseteq P(A)A⊆P(A) ;

包含关系 , x xx 包含于 y yy , 符号化表示 : ⊆ = { < x , y > ∣ x , y ∈ A ∧ x ⊆ y } \subseteq = \{<x,y> | x,y \in \mathscr{A} \land x \subseteq y \}⊆={<x,y>∣x,y∈A∧x⊆y}


包含关系举例 :


前提 :


集合 A = { a , b } A = \{ a, b \}A={a,b}


集族 A 1 = { ∅ , { a } , { b } } \mathscr{A}_1 = \{ \varnothing , \{ a \} , \{ b \} \}A

1


={∅,{a},{b}}


集族 A 2 = { { a } , { a , b } } \mathscr{A}_2 = \{ \{ a \} , \{ a , b \} \}A

2


={{a},{a,b}}


集族 A 3 = P ( A ) = { ∅ , { a } , { b } , { a , b } } \mathscr{A}_3 = P(A) = \{ \varnothing , \{ a \} , \{ b \} , \{ a , b \} \}A

3


=P(A)={∅,{a},{b},{a,b}} , 该集族也是 A AA 的幂集 ;



使用有序对表示以下的包含关系 , 每个有序对的元素都是集合 ;



① 集族 A 1 \mathscr{A}_1A

1


 上的所有包含关系 :


⊆ 1 = I A 1 ∪ { < ∅ , { a } > , < ∅ , { b } > } \subseteq_1 = I_{\mathscr{A}_1} \cup \{ <\varnothing , \{ a \}> , <\varnothing , \{ b \}> \}⊆

1


=I

A

1



∪{<∅,{a}>,<∅,{b}>}


集族上的恒等关系是包含关系 , 任意集合都包含于该集合本身 ;

空集包含于任意非空集合 ;



② 集族 A 2 \mathscr{A}_2A

2


 上的所有包含关系 :


⊆ 2 = I A 2 ∪ { < { a } , { a , b } > } \subseteq_2 = I_{\mathscr{A}_2} \cup \{ <\{ a \}, \{ a, b \}> \}⊆

2


=I

A

2



∪{<{a},{a,b}>}


集族上的恒等关系是包含关系 , 任意集合都包含于该集合本身 ;

{ a } \{ a \}{a} 集合包含于 { a , b } \{ a, b \}{a,b} 集合 ;



③ 集族 A 3 \mathscr{A}_3A

3


 上的所有包含关系 :


⊆ 3 = I A 3 ∪ { < ∅ , { a } > , < ∅ , { b } > , < ∅ , { a , b } > , { < { a } , { a , b } > } , { < { b } , { a , b } > } } \subseteq_3 = I_{\mathscr{A}_3} \cup \{ <\varnothing , \{ a \}> , <\varnothing , \{ b \}> , <\varnothing , \{ a,b \}> , \{ <\{ a \}, \{ a, b \}> \} , \{ <\{ b \}, \{ a, b \}> \} \}⊆

3


=I

A

3



∪{<∅,{a}>,<∅,{b}>,<∅,{a,b}>,{<{a},{a,b}>},{<{b},{a,b}>}}


集族上的恒等关系是包含关系 ;

空集包含于任意非空集合 ;

{ a } \{ a \}{a} 集合包含于 { a , b } \{ a, b \}{a,b} 集合 ;

{ b } \{ b \}{b} 集合包含于 { a , b } \{ a, b \}{a,b} 集合 ;






五、偏序关系示例 3 ( 加细关系 | 有序对元素是集族 )


加细关系 是 有序对集合 , 其中每个 有序对的元素 是 集族 ;



集合 A AA 非空 , π \piπ 是 A AA 集合划分组成的集合 , 每个划分都是一个集族 ;


划分参考 : 【集合论】划分 ( 划分 | 划分示例 | 划分与等价关系 )


集族之间有一种关系 , 加细关系 , 使用符号 ≼ 加 细 \preccurlyeq_{加细}≼

加细


 表示 ;


加细关系 ≼ 加 细 \preccurlyeq_{加细}≼

加细


 符号化表示 :


≼ 加 细 = { < x , y > ∣ x , y ∈ π ∧ x 是 y 的 加 细 } \preccurlyeq_{加细} = \{ <x, y> | x, y \in \pi \land x 是 y 的加细 \}

加细


={<x,y>∣x,y∈π∧x是y的加细}



前提 :


集合 A = { a , b , c } A = \{ a, b , c \}A={a,b,c}


集族 A 1 = { { a , b , c } } \mathscr{A}_1 = \{ \{ a , b , c \} \}A

1


={{a,b,c}}


集族 A 2 = { { a } , { b , c } } \mathscr{A}_2 = \{ \{ a \} , \{ b , c \} \}A

2


={{a},{b,c}}


集族 A 3 = { { b } , { a , c } } \mathscr{A}_3= \{ \{ b \} , \{ a , c \} \}A

3


={{b},{a,c}}


集族 A 4 = { { c } , { a , b } } \mathscr{A}_4= \{ \{ c \} , \{ a , b \} \}A

4


={{c},{a,b}}


集族 A 5 = { { a } , { b } , { c } } \mathscr{A}_5= \{ \{ a \} , \{ b \} , \{ c \} \}A

5


={{a},{b},{c}}


上述集族都是 A AA 集合的划分 ;


划分组成的集合 , 形成新的集合 ;


π 1 = { A 1 , A 2 } \pi_1 = \{ \mathscr{A}_1 , \mathscr{A}_2 \}π

1


={A

1


,A

2


}

π 2 = { A 2 , A 3 } \pi_2 = \{ \mathscr{A}_2 , \mathscr{A}_3 \}π

2


={A

2


,A

3


}

π 3 = { A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , A 5 } \pi_3 = \{ \mathscr{A}_1 , \mathscr{A}_2 , \mathscr{A}_3 , \mathscr{A}_4, \mathscr{A}_5 \}π

3


={A

1


,A

2


,A

3


,A

4


,A

5


}



① π 1 \pi_1π

1


 集合中的划分元素的加细关系 :


≼ 1 = I π 1 ∪ { < A 2 , A 1 > } \preccurlyeq_1 = I_{\pi1} \cup \{<\mathscr{A}_2, \mathscr{A}_1>\}≼

1


=I

π1


∪{<A

2


,A

1


>}


每个划分都是它自己的加细 ;

A 2 \mathscr{A}_2A

2


 是 A 1 \mathscr{A}_1A

1


 的加细 , A 2 \mathscr{A}_2A

2


 小于等于 A 1 \mathscr{A}_1A

1


 ;



② π 2 \pi_2π

2


 集合中的划分元素的加细关系 :


≼ 2 = I π 2 \preccurlyeq_2 = I_{\pi2}≼

2


=I

π2



每个划分都是它自己的加细 ;

A 2 , A 3 \mathscr{A}_2 , \mathscr{A}_3A

2


,A

3


 互相都不是对方的加细 ;



③ π 3 \pi_3π

3


 集合中的划分元素的加细关系 :


≼ 3 = I π 3 ∪ { < A 2 , A 1 > , < A 3 , A 1 > , < A 4 , A 1 > , < A 5 , A 1 > , < A 5 , A 2 > , < A 5 , A 3 > , < A 5 , A 4 > } \preccurlyeq_3 = I_{\pi3} \cup \{<\mathscr{A}_2, \mathscr{A}_1> , <\mathscr{A}_3, \mathscr{A}_1> , <\mathscr{A}_4, \mathscr{A}_1> , <\mathscr{A}_5, \mathscr{A}_1> , <\mathscr{A}_5, \mathscr{A}_2> , <\mathscr{A}_5, \mathscr{A}_3> , <\mathscr{A}_5, \mathscr{A}_4> \}≼

3


=I

π3


∪{<A

2


,A

1


>,<A

3


,A

1


>,<A

4


,A

1


>,<A

5


,A

1


>,<A

5


,A

2


>,<A

5


,A

3


>,<A

5


,A

4


>}


每个划分都是它自己的加细 ;

任何划分都是 A 1 \mathscr{A}_1A

1


 的加细 ; A 1 \mathscr{A}_1A

1


 是最大的 , 大于等于其它任何划分 ;

A 5 \mathscr{A}_5A

5


 是任何划分的加细 ; A 5 \mathscr{A}_5A

5


 是最小的 , 小于等于其它任何划分 ;



版权声明:本文内容由阿里云实名注册用户自发贡献,版权归原作者所有,阿里云开发者社区不拥有其著作权,亦不承担相应法律责任。具体规则请查看《阿里云开发者社区用户服务协议》和《阿里云开发者社区知识产权保护指引》。如果您发现本社区中有涉嫌抄袭的内容,填写侵权投诉表单进行举报,一经查实,本社区将立刻删除涉嫌侵权内容。

相关文章
阿里云服务器如何登录?阿里云服务器的三种登录方法
购买阿里云ECS云服务器后如何登录?场景不同,大概有三种登录方式:
10012 0
使用SSH远程登录阿里云ECS服务器
远程连接服务器以及配置环境
13981 0
阿里云服务器怎么设置密码?怎么停机?怎么重启服务器?
如果在创建实例时没有设置密码,或者密码丢失,您可以在控制台上重新设置实例的登录密码。本文仅描述如何在 ECS 管理控制台上修改实例登录密码。
20694 0
腾讯云服务器 设置ngxin + fastdfs +tomcat 开机自启动
在tomcat中新建一个可以启动的 .sh 脚本文件 /usr/local/tomcat7/bin/ export JAVA_HOME=/usr/local/java/jdk7 export PATH=$JAVA_HOME/bin/:$PATH export CLASSPATH=.
14117 0
阿里云服务器如何登录?阿里云服务器的三种登录方法
购买阿里云ECS云服务器后如何登录?场景不同,云吞铺子总结大概有三种登录方式: 登录到ECS云服务器控制台 在ECS云服务器控制台用户可以更改密码、更换系统盘、创建快照、配置安全组等操作如何登录ECS云服务器控制台? 1、先登录到阿里云ECS服务器控制台 2、点击顶部的“控制台” 3、通过左侧栏,切换到“云服务器ECS”即可,如下图所示 通过ECS控制台的远程连接来登录到云服务器 阿里云ECS云服务器自带远程连接功能,使用该功能可以登录到云服务器,简单且方便,如下图:点击“远程连接”,第一次连接会自动生成6位数字密码,输入密码即可登录到云服务器上。
33615 0
阿里云服务器端口号设置
阿里云服务器初级使用者可能面临的问题之一. 使用tomcat或者其他服务器软件设置端口号后,比如 一些不是默认的, mysql的 3306, mssql的1433,有时候打不开网页, 原因是没有在ecs安全组去设置这个端口号. 解决: 点击ecs下网络和安全下的安全组 在弹出的安全组中,如果没有就新建安全组,然后点击配置规则 最后如上图点击添加...或快速创建.   have fun!  将编程看作是一门艺术,而不单单是个技术。
18996 0
使用NAT网关轻松为单台云服务器设置多个公网IP
在应用中,有时会遇到用户询问如何使单台云服务器具备多个公网IP的问题。 具体如何操作呢,有了NAT网关这个也不是难题。
35349 0
阿里云服务器安全组设置内网互通的方法
虽然0.0.0.0/0使用非常方便,但是发现很多同学使用它来做内网互通,这是有安全风险的,实例有可能会在经典网络被内网IP访问到。下面介绍一下四种安全的内网互联设置方法。 购买前请先:领取阿里云幸运券,有很多优惠,可到下文中领取。
19220 0
+关注
韩曙亮
专注 Android 领域
2605
文章
0
问答
文章排行榜
最热
最新
相关电子书
更多
JS零基础入门教程(上册)
立即下载
性能优化方法论
立即下载
手把手学习日志服务SLS,云启实验室实战指南
立即下载