递归_三要素_基础算法必备

目录

第一要素：明确函数作用

第二要素：递归结束条件

第三要素：函数等价关系

第一要素：明确函数作用

对于递归，我觉得很重要的一个事就是，这个函数的功能是什么，他要完成什么样的一件事，而这个，是完全由你自己来定义的。也就是说，我们先不管函数里面的代码什么，而是要先明白，你这个函数是要用来干什么。

// 算 n 的阶乘(假设n不为0)
public static int f(int n){
}

这个函数的功能是算 n 的阶乘。我们已经定义了一个函数，并且定义了它的功能是什么，接下来我们看第二要素。

第二要素：递归结束条件

所谓递归，就是会在函数内部代码中，调用这个函数本身，所以，我们必须要找出递归的结束条件，不然的话，会一直调用自己，进入无底洞。也就是说，我们需要找出当参数为啥时，递归结束，之后直接把结果返回，请注意，这个时候我们必须能根据这个参数的值，能够直接知道函数的结果是什么。

例如，上面那个例子，当 n = 1 时，那你应该能够直接知道 f(n) 是啥吧？此时，f(1) = 1。完善我们函数内部的代码，把第二要素加进代码里面，如下

// 算 n 的阶乘(假设n不为0)
public static int f(int n){
    if(n == 1){
        return 1;
    }
}

有人可能会说，当 n = 2 时，那我们可以直接知道 f(n) 等于多少啊，那我可以把 n = 2 作为递归的结束条件吗？

当然可以，只要你觉得参数是什么时，你能够直接知道函数的结果，那么你就可以把这个参数作为结束的条件，所以下面这段代码也是可以的。

// 算 n 的阶乘(假设n>=2)
public static int f(int n){
    if(n == 2){
        return 2;
    }
}

注意我代码里面写的注释，假设 n >= 2，因为如果 n = 1时，会被漏掉，当 n <= 2时，f(n) = n，所以为了更加严谨，我们可以写成这样：

// 算 n 的阶乘(假设n不为0)
public static int f(int n){
    if(n <= 2){
        return n;
    }
}

第三要素：函数等价关系

第三要素就是，我们要不断缩小参数的范围，缩小之后，我们可以通过一些辅助的变量或者操作，使原函数的结果不变。

例如，f(n) 这个范围比较大，我们可以让 f(n) = n * f(n-1)。这样，范围就由 n 变成了 n-1 了，范围变小了，并且为了原函数f(n) 不变，我们需要让 f(n-1) 乘以n。

说白了，就是要找到原函数的一个等价关系式，

f(n) 的等价关系式为 n * f(n-1)，

即：f(n) = n * f(n-1)。

这个等价关系式的寻找，可以说是最难的一步了，如果你不大懂也没关系，因为你不是天才，你还需要多接触几道题，我会在接下来的文章中，找 10 道递归题，让你慢慢熟悉起来。

找出了这个等价，继续完善我们的代码，我们把这个等价式写进函数里。如下：

// 算 n 的阶乘(假设n不为0)
public static int f(int n){
    if(n <= 2){
        return n;
    }
    // 把 f(n) 的等价操作写进去
    return f(n-1) * n;
}

至此，递归三要素已经都写进代码里了，所以这个 f(n) 功能的内部代码我们已经写好了。

这就是递归最重要的三要素，每次做递归的时候，你就强迫自己试着去寻找这三个要素。

测试一下这个【阶乘】：【15就接近int最大值了】

package test;
/**
 * 
 * @author laoshifu
 * 2021年12月8日
 */
public class Action {
  public static void main(String[] args) {
    long start = System.currentTimeMillis();
    System.out.println(f(15));
    long end = System.currentTimeMillis();
    System.out.println("消耗时间："+(end-start));
  }
  // 算 n 的阶乘(假设n不为0)
  public static int f(int n){
      if(n <= 2){
          return n;
      }
      // 把 f(n) 的等价操作写进去
      return f(n-1) * n;
  }
}

希望能对大家有所帮助。