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【代数结构】群 ( 群的定义 | 群的基本性质 | 群的证明方法 | 交换群 )

简介: 【代数结构】群 ( 群的定义 | 群的基本性质 | 群的证明方法 | 交换群 )
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群的定义


群 的 定义 : 一个 非空 集合 G GG 中 , 如果 定义了 一个 “乘法” 运算 , 满足以下 四个 性质 , 那么 该 非空集合 G GG 称为 群 ;


1. 封闭性 :

1> 符号表示 : ∀ a , b ∈ G , a × b = c ∈ G \forall a,b \in G , a \times b = c \in G∀a,b∈G,a×b=c∈G

2> 自然语言描述 : 非空集合 G GG 中任意两个元素 a , b a,ba,b 相乘, 其结果 c cc 也是 集合 G GG 中的元素 ;

2. 结合律 :

符号表示 : ∀ a , b , c ∈ G , a × ( b × c ) = ( a × b ) × c \forall a,b, c \in G , a \times ( b \times c ) = (a \times b) \times c∀a,b,c∈G,a×(b×c)=(a×b)×c ;

3. 有单位元 :

1> 符号表示 : ∃ e ∈ G , ∀ a ∈ G , e × a = a × e = a \exist e \in G, \forall a \in G, e \times a = a\times e = a∃e∈G,∀a∈G,e×a=a×e=a

2> 自然语言描述 : 存在一个 e ee , 乘以 a aa , 或者 与 a aa 相乘 , 其结果都是 a aa , 相当于 1 11 ;

4. 每个元 a aa 有逆元 a − 1 a^{-1}a

−1

 :

1> 符号表示 : ∃ e ∈ G , ∀ a ∈ G , ∃ a − 1 ∈ G , a − 1 × a = a × a − 1 = e \exist e \in G, \forall a \in G, \exist a^{-1} \in G, a^{-1} \times a = a \times a^{-1} = e∃e∈G,∀a∈G,∃a

−1

∈G,a

−1

×a=a×a

−1

=e ,

2> 自然语言描述 : e ee 是之前的 单位元 ( 类似于 1 11 ) , a aa 与 a aa 的逆 相乘 , 结果是单位元 e ee ;

注意 :

这个 “乘法” 是指集合中元素的 “乘法” , 即 集合中元素的 二元运算 ;

G × G G \times GG×G 构成代数结构可以表示成 ( G , ⋅ ) ( G , \cdot )(G,⋅)




群的分类


群 的 分类 :


1.交换群 ( Abel 群 ) : 交换律 成立的 群 , 称为 交换群 或 Abel 群 ;

2.非交换群 ( 非 Abel 群 ) : 交换律 不成立的 群 , 称为 非交换群 或 非 Abel 群 ;

3.群 的 阶 : 群 G GG 含有的元素个数叫群的阶 , 记做 ∣ G ∣ |G|∣G∣ ;

4.有限群 : ∣ G ∣ |G|∣G∣ 是 有限的 , 叫做 有限群 ;

5.无限群 : ∣ G ∣ |G|∣G∣ 是 无限的 , 叫做 无限群 ;



群的证明方法


群的证明方法 : 给定一个 集合 G GG 和 二元运算 , 证明该集合是群 ;


1.非空集合 : 首先说明 该集合是一个非空集合 ;

2.证明封闭性 : 集合 中 任意两个元素 进行运算 得到的 第三个元素 必须也在 集合中 ;

3.证明结合律 : 集合中 a aa 与 b bb 和 c cc 进行二元运算 , 其结果 与 a aa 和 b bb 与 c cc 进行运算结果相同 ;

4.证明其有单位元 : 集合中存在一个 e ee 元素 , a aa 与 e ee 和 e ee 与 a aa 运算 结果都是 a aa ; 相当于乘法中的 1 11 或 加法中的 0 00 ;

5.证明其逆元 : a aa 与 a − 1 a^{-1}a

−1

 或者 a − 1 a^{-1}a

−1

 与 a aa 进行运算 , 其结果是 e ee 单位元 ;

满足以上 4 44 个条件 , 就可以证明 该集合 是一个 关于该运算的 群 ;




交换群的证明方法


在群的证明方法基础上 , 证明其交换律成立 ;




数集回顾


数集 及 表示方法 :


1.整数 : Z ZZ , 所有整数组成的集合 , 称为 整数集 ;

2.正整数 : Z + , N ∗ , N + Z^+,N^*,N^+Z

+

,N

,N

+

 , 所有正整数组成的集合 , 称为正整数集 ;

3.负整数 : Z − Z^-Z

 , 所有负整数组成的集合 , 称为负整数集 ;

4.非负整数 : N NN , 所有非负整数组成的集合 , 称为非负整数集 ( 或 自然数集 ) ;

5.有理数 : Q QQ , 全体有理数 组成的集合 , 称为有理数集 ;

6.实数集 : R RR , 全体实数组成的集合 , 称为实数集 ;

7.虚数 : I II , 全体虚数组成的集合 , 称为虚数集 ;

8.复数 : C CC , 全体实数 和 虚数 组成的集合 , 称为复数集 ;

有理数 : 是由整数除法产生的 , 可以由分数表示 , 其小数部分为 有限 或 无限循环小数 ;

实数 : 无理数一般是由正整数开方产生 , 实数与数轴上的点一一对应 , 包含有理数 和 无理数 , 无理数是无限不循环小数 ;

虚数 : 虚数一般是平方是负数或根号内是负数产生 , 虚数分为实部 或 虚部 ;


数集中的常用上标 用法 :


1.正数 : + ^+

+

 表示该数集中元素全为 正数 ;

2.负数 : − ^-

 表示该数集中的元素全为 负数 ;

3.剔除 0 00 元素 : ∗ ^*

 表示剔除该数集上的元素 0 00 ;

R ∗ R^*R

 表示剔除 实数集 R RR 中的 元素 0 00 ,

R ∗ = R ∖ { 0 } = R − ∪ R + = ( − ∞ , 0 ) ∪ ( 0 , + ∞ ) R^* = R \setminus \{0\} = R^- \cup R^+ = (- \infty , 0) \cup (0,+ \infty)R

=R∖{0}=R

∪R

+

=(−∞,0)∪(0,+∞)




群的证明


题目 : 证明所有有理数 关于 乘法 构成一个群 ;



证明方法 : 给定一个 集合 G GG 和 二元运算 , 证明该集合是群 ;


1.非空集合 : 首先说明 该集合是一个非空集合 ;

2.证明封闭性 : 集合 中 任意两个元素 进行运算 得到的 第三个元素 必须也在 集合中 ;

3.证明结合律 : 集合中 a aa 与 b bb 和 c cc 进行二元运算 , 其结果 与 a aa 和 b bb 与 c cc 进行运算结果相同 ;

4.证明其有单位元 : 集合中存在一个 e ee 元素 , a aa 与 e ee 和 e ee 与 a aa 运算 结果都是 a aa ; 相当于乘法中的 1 11 或 加法中的 0 00 ;

5.证明其逆元 : a aa 与 a − 1 a^{-1}a

−1

 或者 a − 1 a^{-1}a

−1

 与 a aa 进行运算 , 其结果是 e ee 单位元 ;

满足以上 4 44 个条件 , 就可以证明 该集合 是一个 关于该运算的 群 ;



证明 :


① 封闭性 : 有理数 相乘 肯定也是有理数 , 满足封闭性 ;

② 结合律 : 3 33 个 任意 有理数 相乘 , 显然也是 满足 结合律的 ;

③ 证明单位元 : 存在 e = 1 e=1e=1 , 有理数 乘以 1 或者 1 乘以 有理数 , 都等于该有理数 , 说明单位元存在 ;

④ 证明逆 a − 1 a^{-1}a

−1

 的存在 : 集合中的任意元素 a aa , 其 a − 1 = 1 a a^{-1} = \frac{1}{a}a

−1

=

a

1


 , a − 1 × a = a × a − 1 = e = 1 a^{-1} \times a = a \times a^{-1} = e = 1a

−1

×a=a×a

−1

=e=1 , 其逆元成立 ;


因此 有理数 关于 乘法 构成一个群 ;


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