大家好，我是被算法题虐到泪流满面的老三，只能靠发发文章给自己打气！
这一节，我们来看看回溯算法。
回溯算法理论基础
什么是回溯
在二叉树的路径问题里，其实我们已经接触到了回溯这种算法。
例如我们在查找二叉树所有路径的时候，查找完一个路径之后，还需要回退，接着找下一个路径。
回溯其实可以说是我们熟悉的DFS，本质上是一种暴力穷举算法，把所有的可能都列举出来，所以回溯并不高效。
这个可能比较抽象，我们举一个例子吧，[1,2,3]三个数可以构成多少种组合呢？
我们的办法就是把所有结果都穷举出来，那怎么穷举呢？可以第一位选1，第二位从[2,3]里选2，第三位从[3]里选3；第二个组合可以第一位选2……
我们把这个选择抽象成一棵树，初步有个印象，这是全排列的问题，后面会刷到。
回溯算法模板
回溯算法，可以看作一个树的遍历过程，建议可以去看一下N叉树的遍历，和这个非常类似。
递归有三要素，类似的，回溯同样需要关注三要素：
- 返回值和参数
回溯算法中函数返回值一般为void。
回溯方法的参数得结合实际问题，但是一般需要一个类似栈的结构来存储每个路径（结果），因为我们一次递归结束之后，节点要回溯到上一个位置。
回溯方法伪代码如下：
void backtrack(参数)
- 回溯函数终止条件
和递归一样，回溯同样也要有结束条件。
什么时候达到了终止条件，从树的角度来讲，一般来说搜到叶子节点了，对回溯而言，就是找到了满足条件的一个结果。
所以回溯函数终止条件伪代码如下：
if (终止条件) { 存放结果; return; }
- 回溯搜索的遍历过程
回溯法一般是在一个序列里做选择，序列的大小构成了树的宽度，递归的深度构成的树的深度。
回溯函数遍历过程伪代码如下：
for (选择：本层集合中元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小）) { 处理节点; backtracking(路径，选择列表); // 递归 回溯，撤销处理结果 }
for循环就是遍历序列，可以理解一个节点有多少个孩子，这个for循环就执行多少次。可以理解为横向的遍历。
backtrack就是自己调用自己，可以理解为纵向的遍历。
同时递归之后，我们还要撤销之前做的选择。
所以回溯算法模板框架如下：
void backtrack(参数) { if (终止条件) { 存放结果; return; } for (选择：本层集合中元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小）) { 处理节点; backtrack(路径，选择列表); // 递归 回溯，撤销处理结果 } }
回溯能解决哪些问题
回溯法，一般可以解决如下几种问题：
- 组合问题：N个数里面按一定规则找出k个数的集合
- 切割问题：一个字符串按一定规则有几种切割方式
- 子集问题：一个N个数的集合里有多少符合条件的子集
- 排列问题：N个数按一定规则全排列，有几种排列方式
- 棋盘问题：N皇后，解数独等等
可能到这对回溯还比较迷茫，没有关系，回溯是比较套路化的一种算法，多做几道题就明白了。
组合问题
LeetCode77. 组合
☕ 题目：77. 组合 (https://leetcode-cn.com/problems/combinations/)
❓ 难度：中等
📕 描述：
给定两个整数 n 和 k，返回范围 [1, n] 中所有可能的 k 个数的组合你可以按 任何顺序 返回答案。
示例 1：
输入：n = 4, k = 2 输出： [ [2,4], [3,4], [2,3], [1,2], [1,3], [1,4], ]
示例 2：
输入：n = 1, k = 1 输出：[[1]]
💡 思路：
这道题是回溯算法的经典题目。
我们来看一下这道题的抽象树形结构：
按照我们的回溯模板，看看这道题应该怎么写：
- 返回值、参数
首先方法里是一定要区间的数据，[start，n]。
计数的k也不可缺少。
最后的结果集合result，还有每条路径的结果path，可以定义全局变量，来提升可读性。
- 终止条件
什么时候终止，就是什么时候到叶子节点了呢？结果parh的大小等于k，说明到了叶子节点，一次递归结束。
- 单层逻辑
在单层逻辑里面，我们要做两件事：
- 遍历序列
- 递归，遍历节点
🖊 代码：
class Solution { //结果集合 List<List<Integer>> result; //符合条件的结果 LinkedList<Integer> path; public List<List<Integer>> combine(int n, int k) { result = new ArrayList<>(); path = new LinkedList<>(); backstack(n, k, 1); return result; } //回溯 public void backstack(int n, int k, int start) { //结束条件 if (path.size() == k) { result.add(new LinkedList<>(path)); return; } for (int i = start; i <= n; i++) { path.addLast(i); //递归 backstack(n, k, i + 1); //回溯,撤销已经处理的节点 path.removeLast(); } } }
⚡ 剪枝优化
回溯中，提高性能的一大妙招就是剪枝。
剪枝见名知义，就是在把我们的树的一些树枝给它剪掉。
例如n = 4，k = 4，
我们可以看到，有些路径，其实一定是不满足我们的要求，如果我们把这些不可能的路径剪断，那我们不就可以少遍历一些节点吗？
所以我们看看这道题怎么来剪这个枝：
如果for循环选择的起始位置之后的元素个数 已经不足 我们需要的元素个数了，那么就没有必要搜索。
- 已经选择的元素个数：path.size();
- 还需要的元素个数为: k - path.size();
- 所以起始位置 : n - (k - path.size()) + 1之后的肯定不符合要求
所以优化之后的代码如下：
class Solution{ //结果集合 List<List<Integer>> result; //符合条件的结果 LinkedList<Integer> path; public List<List<Integer>> combine(int n, int k) { result = new ArrayList<>(); path = new LinkedList<>(); backstack(n, k, 1); return result; } //回溯 public void backstack(int n, int k, int start) { //结束条件 if (path.size() == k) { result.add(new LinkedList<>(path)); return; } for (int i = start; i <= n-(k-path.size())+1; i++) { path.addLast(i); //递归 backstack(n, k, i + 1); //回溯,撤销已经处理的节点 path.removeLast(); } } }
LeetCode216. 组合总和 III
☕ 题目：77. 组合 (https://leetcode-cn.com/problems/combinations/)
❓ 难度：中等
📕 描述：
找出所有相加之和为 n 的 k 个数的组合。组合中只允许含有 1 - 9 的正整数，并且每种组合中不存在重复的数字。
说明：
- 所有数字都是正整数。
- 解集不能包含重复的组合。
示例 1:
输入: k = 3, n = 7 输出: [[1,2,4]]
示例 2:
输入: k = 3, n = 9 输出: [[1,2,6], [1,3,5], [2,3,4]]
💡 思路：
我们先把这道题抽象成树：
接着套模板。
- 终止条件
到叶子节点（path大小等于k）终止。
- 返回值，参数
参数稍微有变化，序列是固定的，这里的n是目标和；需要一个参数pathSum来记录路径上的数总和，我们直接全局变量。
- 单层逻辑
逻辑差别不大，回溯的时候需要把pathSum也回溯一下。
🖊 代码：
class Solution { //结果集合 List<List<Integer>> result; //结果 LinkedList<Integer> path; //结果综合 int pathSum; public List<List<Integer>> combinationSum3(int k, int n) { result = new ArrayList<>(); path = new LinkedList<>(); backtrack(n, k, 1); return result; } //回溯 public void backtrack(int n, int k, int start) { //结束 if (path.size() == k) { if (pathSum == n) { result.add(new LinkedList<>(path)); } return; } //遍历序列 for (int i = start; i <= 9; i++) { path.push(i); pathSum += i; //递归 backtrack(n, k, i + 1); //回溯，撤销操作 pathSum -= path.pop(); } } }
⚡ 剪枝优化
同样也可以进行剪枝优化，也很好想，如果pathNum>n ，那就没必要再遍历了。
class Solution { //结果集合 List<List<Integer>> result; //结果 LinkedList<Integer> path; //结果综合 int pathSum; public List<List<Integer>> combinationSum3(int k, int n) { result = new ArrayList<>(); path = new LinkedList<>(); backtrack(n, k, 1); return result; } //回溯 public void backtrack(int n, int k, int start) { //剪枝优化 if (pathSum > n) { return; } //结束 if (path.size() == k) { if (pathSum == n) { result.add(new LinkedList<>(path)); } return; } //遍历序列 for (int i = start; i <= 9; i++) { path.push(i); pathSum += i; //递归 backtrack(n, k, i + 1); //回溯，撤销操作 pathSum -= path.pop(); } } }
LeetCode39. 组合总和
☕ 题目：39. 组合总和 (https://leetcode-cn.com/problems/combination-sum/)
❓ 难度：中等
📕 描述：
给定一个无重复元素的正整数数组 candidates 和一个正整数 target ，找出 candidates 中所有可以使数字和为目标数 target 的唯一组合。
candidates 中的数字可以无限制重复被选取。如果至少一个所选数字数量不同，则两种组合是唯一的。
对于给定的输入，保证和为 target 的唯一组合数少于 150 个。
示例 1：
输入: candidates = [2,3,6,7], target = 7 输出: [[7],[2,2,3]]
示例 2：
输入: candidates = [2,3,5], target = 8 输出: [[2,2,2,2],[2,3,3],[3,5]]
示例 3：
输入: candidates = [2], target = 1 输出: []
示例 4：
输入: candidates = [1], target = 1 输出: [[1]]
示例 5：
输入: candidates = [1], target = 2 输出: [[1,1]]
提示：
- 1 <= candidates.length <= 30
- 1 <= candidates[i] <= 200
- candidate 中的每个元素都是独一无二的。
- 1 <= target <= 500
💡 思路：
这道题和我们上面的有什么区别呢？
它没有数量要求，可以无限重复，但是有总和的限制。
这里有两个关键点：
- 元素可以重复使用
- 组合不可重复
我们看看如何通过回溯三要素来carry：
- 返回值&参数
参数里需要start标明起点，为什么呢？因为要求组合不重复，所以需要限制下次搜索的起点，是基于本次选择，这样就不会选到本次选择同层左边的数。
- 终止条件
这道题没有限制数的个数，所以我们要根据pathSum>target（当前组合不满足）和pathSum==target（当前组合满足）来终止递归。
- 单层逻辑
单层仍然从start开始，搜索 candidates。
🖊 代码：
class Solution { //结果结合 List<List<Integer>> result; //结果路径 LinkedList<Integer> path; //结果路径值的和 int pathSum; public List<List<Integer>> combinationSum(int[] candidates, int target) { result = new ArrayList<>(); path = new LinkedList<>(); pathSum = 0; backtrack(candidates, target, 0); return result; } public void backtrack(int[] candidates, int target, int start) { //终止条件 if (pathSum > target) return; if (pathSum == target) { result.add(new LinkedList<>(path)); } for (int i = start; i < candidates.length; i++) { pathSum += candidates[i]; path.push(candidates[i]); //注意，i不用加1，表示当前数可以重复读取 backtrack(candidates, target, i); //回溯 pathSum -= path.pop(); } } }
⚡ 剪枝优化
又到了剪枝优化时间，在本层循环，如果发现下一层的pathSum（本层pathSum+candidates[i]）,那么就可以结束本层循环，注意要先把candidates拍一下序。
class Solution { //结果结合 List<List<Integer>> result; //结果路径 LinkedList<Integer> path; //结果路径值的和 int pathSum; public List<List<Integer>> combinationSum(int[] candidates, int target) { result = new ArrayList<>(); path = new LinkedList<>(); pathSum = 0; //剪枝优化，先排序 Arrays.sort(candidates); backtrack(candidates, target, 0); return result; } public void backtrack(int[] candidates, int target, int start) { //终止条件 if (pathSum > target) return; if (pathSum == target) { result.add(new LinkedList<>(path)); } //剪枝优化，判断循环之后的pathSum是否会超过target for (int i = start; i < candidates.length && pathSum + candidates[i] <= target; i++) { pathSum += candidates[i]; path.push(candidates[i]); //注意，i不用加1，表示当前数可以重复读取 backtrack(candidates, target, i); //回溯 pathSum -= path.pop(); } } }
LeetCode40. 组合总和 II
☕ 题目：40. 组合总和 II (https://leetcode-cn.com/problems/combination-sum-ii/)
❓ 难度：中等
📕 描述：
给定一个数组 candidates 和一个目标数 target ，找出 candidates 中所有可以使数字和为 target 的组合。
candidates 中的每个数字在每个组合中只能使用一次。
注意：解集不能包含重复的组合。
示例 1:
输入: candidates = [10,1,2,7,6,1,5], target = 8, 输出: [ [1,1,6], [1,2,5], [1,7], [2,6] ]
示例 2:
输入: candidates = [2,5,2,1,2], target = 5, 输出: [ [1,2,2], [5] ]
提示:
- 1 <= candidates.length <= 100
- 1 <= candidates[i] <= 50
- 1 <= target <= 30
💡 思路：
这道题和上一道题有啥区别呢？
candidates里每个数字在每个组合里只能使用一次candidates里的元素是有重复的
所以这道题的关键在于：集合（数组candidates）有重复元素，但还不能有重复的组合。
关于这个去重，有什么思路呢？
- 利用
HashSet的特性去重，但是容易超时 - 还有一种办法，先把数组排序[1,3,1] --> [1,1,3]，我们比较一下相邻的元素，重复的就跳过
我们把模拟树画一下：
三要素走起：
- 返回值&参数
和上一道基本一致。
- 终止条件
- pathSum>target和pathSum==target。
- 我们这次直接剪枝，提前判断下次pathSum是否大于target，所以pathSum>target可以省略
🖊 代码：
class Solution { //结果集合 List<List<Integer>> result; //结果路径 LinkedList<Integer> path; //结果路径值总和 int pathSum; public List<List<Integer>> combinationSum2(int[] candidates, int target) { //排序condidates，去重前提 Arrays.sort(candidates); //初始化相关变量 result = new ArrayList<>(); path = new LinkedList<>(); pathSum = 0; backtrack(candidates, target, 0); return result; } public void backtrack(int[] candidates, int target, int start) { //终止条件 if (pathSum == target) { result.add(new LinkedList<>(path)); return; } //剪枝操作 for (int i = start; i < candidates.length && candidates[i] + pathSum <= target; i++) { //同一层使用过的元素跳过 if (i > start && candidates[i] == candidates[i - 1]) { continue; } pathSum += candidates[i]; path.push(candidates[i]); //每个数字在每个组合中只能用一次，所以i++ backtrack(candidates, target, i + 1); //回溯 pathSum -= path.pop(); } } }
LeetCode17. 电话号码的字母组合
☕ 题目：17. 电话号码的字母组合(https://leetcode-cn.com/problems/letter-combinations-of-a-phone-number/)
❓ 难度：中等
📕 描述：
给定一个仅包含数字 2-9 的字符串，返回所有它能表示的字母组合。答案可以按 任意顺序 返回。
给出数字到字母的映射如下（与电话按键相同）。注意 1 不对应任何字母。
示例 1：
输入：digits = "23" 输出：["ad","ae","af","bd","be","bf","cd","ce","cf"]
示例 2：
输入：digits = "" 输出：[]
示例 3：
输入：digits = "2" 输出：["a","b","c"]
提示：
- 0 <= digits.length <= 4
- digits[i] 是范围 [‘2’, ‘9’] 的一个数字。
💡 思路：
其实扒开表皮，这道题和77.组合本质上是一样。只不过序列和组合个数没有明确给出。
- 序列是什么：digits 映射成的字母序列
- 组合个数：digits的大小
先画抽象树：
🖊 代码：
class Solution { //结果集合 List<String> result; //结果 StringBuilder path; //每个路径个数 int pathNum; //映射数组，0，1空出来，方便直接映射 String[] numsMap = {" ", " ", "abc", "def", "ghi", "jkl", "mno", "pqrs", "tuv", "wxyz"}; public List<String> letterCombinations(String digits) { result = new ArrayList<>(); if (digits == null || digits.length() == 0) { return result; } path = new StringBuilder(); pathNum = 0; backtrack(digits, pathNum); return result; } public void backtrack(String digits, int pathNum) { if (pathNum == digits.length()) { result.add(path.toString()); return; } //获取映射字母 String letters = numsMap[digits.charAt(pathNum) - '0']; for (int i = 0; i < letters.length(); i++) { path.append(letters.charAt(i)); //注意，pathNum+1,要处理下一层 backtrack(digits, pathNum + 1); //回溯 path.deleteCharAt(path.length() - 1); } } }
分割问题
LeetCode131. 分割回文串
☕ 题目：131. 分割回文串 (https://leetcode-cn.com/problems/palindrome-partitioning/)
❓ 难度：中等
📕 描述：
给你一个字符串 s，请你将 s 分割成一些子串，使每个子串都是 回文串 。返回 s 所有可能的分割方案。
回文串 是正着读和反着读都一样的字符串。
示例 1：
输入：s = "aab" 输出：[["a","a","b"],["aa","b"]]
示例 2：
输入：s = "a" 输出：[["a"]]
提示：
- 1 <= s.length <= 16
- s 仅由小写英文字母组成
💡 思路：
我们写了一些组合问题，现在又是一类新的问题——分割。
但其实，分割问题，也类似组合。
例如对于字符串abcdef：[1]
- 组合问题：选取一个a之后，在bcdef中再去选取第二个，选取b之后在cdef中在选组第三个…。
- 切割问题：切割一个a之后，在bcdef中再去切割第二段，切割b之后在cdef中在切割第三段…….
先画一下抽象树：
回溯三要素：
- 参数
我们需要一个start来标记下一轮递归遍历的起始位置。
- 终止条件
如果start已经超过字符串的长度，那么说明我们path中的组合是回文串。
- 单层逻辑
单层逻辑和之前的逻辑大体类似，不过需要判断一下字符串是否是回文串，这个比较简单。
🖊 代码：
class Solution { List<List<String>> result; LinkedList<String> path; public List<List<String>> partition(String s) { result = new ArrayList<>(); path = new LinkedList<>(); backtrack(s, 0); return result; } public void backtrack(String s, int start) { //结束条件 if (start >= s.length()) { result.add(new ArrayList<>(path)); return; } for (int i = start; i < s.length(); i++) { //如果是回文串 if (isPalidrome(s, start, i)) { String r = s.substring(start, i+1); path.addLast(r); } else { continue; } //起始位置后移 backtrack(s, i + 1); //回溯 path.removeLast(); } } //判断是否回文串 boolean isPalidrome(String s, int start, int end) { for (int i = start, j = end; i < j; i++, j--) { if (s.charAt(i) != s.charAt(j)) { return false; } } return true; } }
LeetCode93. 复原 IP 地址
☕ 题目：93. 复原 IP 地址 (https://leetcode-cn.com/problems/restore-ip-addresses/)
❓ 难度：中等
📕 描述：
给定一个只包含数字的字符串，用以表示一个 IP 地址，返回所有可能从 s 获得的 有效 IP 地址 。你可以按任何顺序返回答案。
有效 IP 地址 正好由四个整数（每个整数位于 0 到 255 之间组成，且不能含有前导 0），整数之间用 ‘.’ 分隔。
例如：“0.1.2.201” 和 “192.168.1.1” 是 有效 IP 地址，但是 “0.011.255.245”、“192.168.1.312” 和 “192.168@1.1” 是 无效 IP 地址。
示例 1：
输入：s = "25525511135" 输出：["255.255.11.135","255.255.111.35"]
示例 2：
输入：s = "0000" 输出：["0.0.0.0"]
示例 3：
输入：s = "1111" 输出：["1.1.1.1"]
示例 4：
输入：s = "010010" 输出：["0.10.0.10","0.100.1.0"]
示例 5：
输入：s = "101023" 输出：["1.0.10.23","1.0.102.3","10.1.0.23","10.10.2.3","101.0.2.3"]
提示：
- 0 <= s.length <= 3000
- s 仅由数字组成
💡 思路：
这道题是不是和上一道题类似啊。
我们先把抽象树画一下：
分支比较多，偷懒省去了一些分支。
直接上回溯三要素：
- 参数
因为ip为四段构成，所以我们需要一个参数来记录段数，这里用的是剩余的段数residue；
分割问题，需要标记start。
- 终止条件
终止条件是切割到了终点；
但是这道题又有段数的要求，所以还要加入段数的判断。
- 单层
单层里面，除了回溯之类，我们还要判断当前段是否满足构成ip的要求。
🖊 代码：
class Solution { List<String> res = new ArrayList<>(); Deque<String> path = new ArrayDeque<>(4); int len; public List<String> restoreIpAddresses(String s) { len = s.length(); if (len > 12 || len < 4) return res; backtrack(s, 0, 4); return res; } /** * * @param s 字符串 * @param start 起始位置 * @param residue 剩余段数 */ private void backtrack(String s, int start, int residue) { //符合要求 //字符已经用完，而且为四段 if (start == len && residue == 0) { res.add(String.join(".", path)); return; } for (int i = start; i < start + 3; i++) { if (i >= len) break; //减枝 if (residue * 3 < len - i) continue; //只有符合要求的才加入 if (isIpSegment(s, start, i)) { String currentIpSegment = s.substring(start, i + 1); path.addLast(currentIpSegment); backtrack(s, i + 1, residue - 1); //回溯 path.removeLast(); } } } //判断字串是否符合ip要求 private boolean isIpSegment(String s, int left, int right) { //首位0情况 if (right - left + 1 > 1 && s.charAt(left) == '0') return false; //判断对应数字是否满足范围 int num = 0; for (int i = left; i <= right; i++) { num = num * 10 + s.charAt(i) - '0'; } return num >= 0 && num <= 255; } }
子集问题
LeetCode78. 子集
☕ 题目：78. 子集 (https://leetcode-cn.com/problems/subsets/)
❓ 难度：中等
📕 描述：
给你一个整数数组 nums ，数组中的元素 互不相同 。返回该数组所有可能的子集（幂集）。
解集 不能 包含重复的子集。你可以按 任意顺序 返回解集。
示例 1：
输入：nums = [1,2,3] 输出：[[],[1],[2],[1,2],[3],[1,3],[2,3],[1,2,3]]
示例 2：
输入：nums = [0] 输出：[[],[0]]
提示：
- 1 <= nums.length <= 10
- -10 <= nums[i] <= 10
- nums 中的所有元素 互不相同
💡 思路：
这和我们前面做的 77.组合也是类似得。
先画抽象树结构：
还是回溯三要素：
- 参数
组合不重复，所以start标记起点
- 终止条件
把数组所有元素用完，就终止递归，也就是start走到了最后一个位置。
- 单层逻辑
就一点需要注意，需要收集所有得组合。
🖊 代码：
class Solution { List<List<Integer>> result = new ArrayList<>(); LinkedList<Integer> path = new LinkedList<>(); public List<List<Integer>> subsets(int[] nums) { if (nums == null || nums.length == 0) { return result; } backstrck(nums, 0); return result; } public void backstrck(int[] nums, int start) { //放在最上面，否则漏掉本次 result.add(new ArrayList<>(path)); //终止条件 if (start >=nums.length) { return; } for (int i = start; i <nums.length; i++) { path.addLast(nums[i]); backstrck(nums, i + 1); //回溯 path.removeLast(); } } }
LeetCode90. 子集 II
☕ 题目：90. 子集 II (https://leetcode-cn.com/problems/subsets-ii/)
❓ 难度：中等
📕 描述：
给你一个整数数组 nums ，其中可能包含重复元素，请你返回该数组所有可能的子集（幂集）。
解集 不能 包含重复的子集。返回的解集中，子集可以按 任意顺序 排列。
示例 1：
输入：nums = [1,2,2] 输出：[[],[1],[1,2],[1,2,2],[2],[2,2]]
示例 2：
输入：nums = [0] 输出：[[],[0]]
提示：
- 1 <= nums.length <= 10
- -10 <= nums[i] <= 10
💡 思路：
和上一道题有一点不一样，nums里面有重复的元素，而要保持组合的惟一，我们得想一个去重的办法。
前面的40. 组合总和 II 还记得吗？那道题里序列里同样有重复的元素。
我们是怎么去重的呢？先排序数组，相邻元素重复就跳过。
🖊 代码：
class Solution { List<List<Integer>> result = new ArrayList<>(); LinkedList<Integer> path = new LinkedList<>(); public List<List<Integer>> subsetsWithDup(int[] nums) { if (nums == null || nums.length == 0) { result.add(new ArrayList<>()); return result; } //先排序数组 Arrays.sort(nums); backtrack(nums, 0); return result; } public void backtrack(int[] nums, int start) { result.add(new ArrayList<>(path)); //终止条件 if (start >= nums.length) { return; } for (int i = start; i < nums.length; i++) { //先判断是否重复 if (i > start && nums[i] == nums[i - 1]) { continue; } path.addLast(nums[i]); backtrack(nums, i + 1); //回溯 path.removeLast(); } } }
LeetCode491. 递增子序列
☕ 题目：491. 递增子序列 (https://leetcode-cn.com/problems/increasing-subsequences/)
❓ 难度：中等
📕 描述：
给你一个整数数组 nums ，找出并返回所有该数组中不同的递增子序列，递增子序列中 至少有两个元素 。你可以按 任意顺序 返回答案。
数组中可能含有重复元素，如出现两个整数相等，也可以视作递增序列的一种特殊情况。
示例 1：
输入：nums = [4,6,7,7] 输出：[[4,6],[4,6,7],[4,6,7,7],[4,7],[4,7,7],[6,7],[6,7,7],[7,7]]
示例 2：
输入：nums = [4,4,3,2,1] 输出：[[4,4]]
提示：
- 1 <= nums.length <= 15
- -100 <= nums[i] <= 100
💡 思路：
这道题乍一看，递增？直接套90.子集II，当然，肯定是不行的。
注意啊，我们这个整数数组是不能改变次序的，
所以上面我们用排序的方式去重在这里用不上。
那怎么办呢？
我们需要用一个结构来保存每一层用过的元素，来给它去重。
我们可以选择用map来存储用过的元素，来给每一层的循环去重。
回溯三要素：
- 参数
组合不重复，需要start。
- 终止条件
遍历完nums。
- 单层逻辑
- 去重
用map存储一层里用过的元素，选择元素之前，判断元素是否用过。
- 递增
每个元素和队尾元素比一下，判断是否满足递增的要求。
🖊 代码：
class Solution { List<List<Integer>> result = new ArrayList<>(); LinkedList<Integer> path = new LinkedList(); public List<List<Integer>> findSubsequences(int[] nums) { if (nums == null || nums.length == 0) { result.add(new ArrayList<>()); return result; } backtrack(nums, 0); return result; } public void backtrack(int[] nums, int start) { //使用map辅助去重 Map<Integer, Integer> map = new HashMap<>(); if (path.size() > 1) { result.add(new ArrayList<>(path)); } if (start >= nums.length) { return; } for (int i = start; i < nums.length; i++) { //判断当前元素序列是否递增 if (!path.isEmpty() && path.getLast() > nums[i]) { continue; } //本层循环元素已经用过，去重 if (map.containsKey(nums[i])) { continue; } path.addLast(nums[i]); map.put(nums[i], i); backtrack(nums, i + 1); path.removeLast(); } } }
排列问题
LeetCode46. 全排列
☕ 题目：46. 全排列 (https://leetcode-cn.com/problems/permutations/)
❓ 难度：中等
📕 描述：
给定一个不含重复数字的数组 nums ，返回其 所有可能的全排列 。你可以 按任意顺序 返回答案。
示例 1：
输入：nums = [1,2,3] 输出：[[1,2,3],[1,3,2],[2,1,3],[2,3,1],[3,1,2],[3,2,1]]
示例 2：
输入：nums = [0,1] 输出：[[0,1],[1,0]]
示例 3：
输入：nums = [1] 输出：[[1]]
提示：
- 1 <= nums.length <= 6
- -10 <= nums[i] <= 10
- nums 中的所有整数 互不相同
💡 思路：
这里注意，我们在每一层去重。
我们之前用过两种方法去重：排序去重、map去重。
这用一个新的办法，用一个boolean数组used标记元素是否被用过。
先画抽象树：
回溯三部曲：
- 结束条件
path中取到了等于集合得数量.
- 参数
注意啊，因为这里要从头开始搜索，所以就不用start了；
我们去重用的used数组直接定义全局变量；
- 单层逻辑
需要根据used数组判断当前元素是否用过。
🖊 代码：
class Solution { List<List<Integer>> result = new ArrayList<>(); LinkedList<Integer> path = new LinkedList<>(); boolean[] used; public List<List<Integer>> permute(int[] nums) { if (nums == null || nums.length == 0) { result.add(path); return result; } used = new boolean[nums.length]; backtrack(nums); return result; } public void backtrack(int[] nums) { if (path.size() == nums.length) { result.add(new ArrayList<>(path)); return; } for (int i = 0; i < nums.length; i++) { //去重判断 if (used[i]) { continue; } //标记用过 used[i] = true; path.addLast(nums[i]); backtrack(nums); //回溯 used[i] = false; path.removeLast(); } } }
LeetCode47. 全排列 II
☕ 题目：47. 全排列 II (https://leetcode-cn.com/problems/permutations-ii/)
❓ 难度：中等
📕 描述：
给定一个可包含重复数字的序列 nums ，按任意顺序 返回所有不重复的全排列。
示例 1：
输入：nums = [1,1,2] 输出： [[1,1,2], [1,2,1], [2,1,1]]
示例 2：
输入：nums = [1,2,3] 输出：[[1,2,3],[1,3,2],[2,1,3],[2,3,1],[3,1,2],[3,2,1]]
提示：
- 1 <= nums.length <= 8
- -10 <= nums[i] <= 10
💡 思路：
这道题在上一道题的基础上：给定一个可包含重复数字的序列 nums。
又到了我们喜闻乐见的去重时间，这个去重是单层的去重。
这次我们可以使用排序，相邻元素比较的方式去重。
先画抽象树：
🖊 代码：
class Solution { List<List<Integer>> result = new ArrayList<>(); LinkedList<Integer> path = new LinkedList<>(); boolean[] used; public List<List<Integer>> permuteUnique(int[] nums) { if (nums == null || nums.length == 0) { result.add(path); return result; } //排序无序集合 Arrays.sort(nums); used = new boolean[nums.length]; backtrack(nums); return result; } public void backtrack(int[] nums) { if (path.size() == nums.length) { result.add(new ArrayList<>(path)); return; } for (int i = 0; i < nums.length; i++) { //判断元素本层是否用过 if (i > 0 && nums[i] == nums[i - 1] && used[i - 1] == false) { continue; } //判断元素本枝干是否用过 if (used[i]) { continue; } //开始处理 //标记同一个枝干用过 used[i] = true; path.addLast(nums[i]); backtrack(nums); //回溯 path.removeLast(); used[i] = false; } } }
棋盘问题
LeetCode51. N 皇后
☕ 题目：51. N 皇后 (https://leetcode-cn.com/problems/n-queens/)
❓ 难度：困难
📕 描述：
n 皇后问题 研究的是如何将 n 个皇后放置在 n×n 的棋盘上，并且使皇后彼此之间不能相互攻击。
给你一个整数 n ，返回所有不同的 n 皇后问题 的解决方案。
每一种解法包含一个不同的 n 皇后问题 的棋子放置方案，该方案中 ‘Q’ 和 ‘.’ 分别代表了皇后和空位。
示例 1：
输入：n = 4 输出：[[".Q..","...Q","Q...","..Q."],["..Q.","Q...","...Q",".Q.."]] 解释：如上图所示，4 皇后问题存在两个不同的解法。
示例 2：
输入：n = 1 输出：[["Q"]]
提示：
1 <= n <= 9- 皇后彼此不能相互攻击，也就是说：任何两个皇后都不能处于同一条横行、纵行或斜线上。
💡 思路：
首先看一下，每个组合又什么限制呢？
- 不能同行
- 不能同列
- 不能在同一条斜线
搜索皇后的位置，同样可以抽象成一棵树。
矩阵的高就是树的高度，矩阵的宽就是每一个节点的宽度。
我们拿皇后的约束条件来剪枝，只要能搜索到树的叶子节点，那么就说明找到和合适的位置。
回溯三要素上吧！
- 参数
需要一个二维数组表示棋盘；
参数n记录棋盘大小；
用row记录遍历到棋盘的第几层；
- 终止条件
到了最底的一层，说明找到合适的皇后的位置；
- 单层逻辑
需要判断当前选择是否符合N皇后约束条件；
三个条件，行不用管，因为我们是一行一行往下的。
只需要判断左上角斜方向，列方向，右上角斜方向。
🖊 代码：
class Solution { List<List<String>> result = new ArrayList<>(); public List<List<String>> solveNQueens(int n) { //棋盘 char[][] board = new char[n][n]; //初始化棋盘 for (char[] c : board) { Arrays.fill(c, '.'); } backtrack(board, n, 0); return result; } public void backtrack(char[][] board, int n, int row) { //终止条件，到底了 if (row == n) { result.add(arrayToList(board)); return; } for (int col = 0; col < n; col++) { //判断是否符合N皇后要求 if (!isValid(board, n, row, col)) continue; //开始操作 board[row][col] = 'Q'; backtrack(board, n, row + 1); //回溯 board[row][col] = '.'; } } //判断当前位置是否满足N皇后要求 public boolean isValid(char[][] board, int n, int row, int col) { //行不用判断，每层只有一个 //col列判断 for (int k = 0; k < n; k++) { if (board[k][col] == 'Q') { return false; } } //检查主对角线（45度） for (int i = row - 1, j = col - 1; i >= 0 && j >= 0; i--, j--) { if (board[i][j] == 'Q') { return false; } } //检查副对角线（135度） for (int i = row - 1, j = col + 1; i >= 0 && j <= n - 1; i--, j++) { if (board[i][j] == 'Q') { return false; } } return true; } //将棋盘数组转换为字符串列表 public List<String> arrayToList(char[][] board) { List<String> path = new ArrayList<>(); for (char[] c : board) { path.add(String.valueOf(c)); } return path; } }
LeetCode 37. 解数独
☕ 题目：37. 解数独(https://leetcode-cn.com/problems/sudoku-solver/)
❓ 难度：困难
📕 描述：
编写一个程序，通过填充空格来解决数独问题。
数独的解法需 遵循如下规则：
- 数字 1-9 在每一行只能出现一次。
- 数字 1-9 在每一列只能出现一次。
- 数字 1-9 在每一个以粗实线分隔的 3x3 宫内只能出现一次。（请参考示例图）
数独部分空格内已填入了数字，空白格用 ‘.’ 表示。
输入：board = [[“5”,“3”,".",".",“7”,".",".",".","."],
[“6”,".",".",“1”,“9”,“5”,".",".","."],
[".",“9”,“8”,".",".",".",".",“6”,"."],
[“8”,".",".",".",“6”,".",".",".",“3”],
[“4”,".",".",“8”,".",“3”,".",".",“1”],
[“7”,".",".",".",“2”,".",".",".",“6”],
[".",“6”,".",".",".",".",“2”,“8”,"."],
[".",".",".",“4”,“1”,“9”,".",".",“5”],
[".",".",".",".",“8”,".",".",“7”,“9”]]
输出：[[“5”,“3”,“4”,“6”,“7”,“8”,“9”,“1”,“2”],
[“6”,“7”,“2”,“1”,“9”,“5”,“3”,“4”,“8”],
[“1”,“9”,“8”,“3”,“4”,“2”,“5”,“6”,“7”],
[“8”,“5”,“9”,“7”,“6”,“1”,“4”,“2”,“3”],
[“4”,“2”,“6”,“8”,“5”,“3”,“7”,“9”,“1”],
[“7”,“1”,“3”,“9”,“2”,“4”,“8”,“5”,“6”],
[“9”,“6”,“1”,“5”,“3”,“7”,“2”,“8”,“4”],
[“2”,“8”,“7”,“4”,“1”,“9”,“6”,“3”,“5”],
[“3”,“4”,“5”,“2”,“8”,“6”,“1”,“7”,“9”]]
解释：输入的数独如上图所示，唯一有效的解决方案如下所示：
提示：
- board.length == 9
- board[i].length == 9
- board[i][j] 是一位数字或者 ‘.’
- 题目数据 保证 输入数独仅有一个解
💡 思路：
这道题可以说是N皇后问题的plu版本了。
这道题矩阵的长度和宽度都比N皇后更长更宽。
而且判断重复也更难：
- 同行是否重复
- 同列是否重复
- 9宫格里是否重复
我们先大概画一棵抽象树：
这个图画起来太麻烦了，差不多就那个意思，接下来我们三部曲走起[1]。
- 返回值与参数
因为解数独找到一个符合的条件就返回，所以返回值用boolean类型。
- 终止条件
可以不用终止条件，因为
- 单层逻辑
需要一个两个循环套着的递归，一个循环棋盘的行，一个循环棋盘的列，递归遍历这个位置放9个数字的可能。
🖊 代码：
class Solution { public void solveSudoku(char[][] board) { backtrack(board); } boolean backtrack(char[][] board) { //遍历行 for (int row = 0; row < board.length; row++) { //遍历列 for (int col = 0; col < board[0].length; col++) { if (board[row][col] != '.') continue; //尝试1-9 for (char k = '1'; k <= '9'; k++) { //不满足，跳过 if (!isValid(board, row, col, k)) continue; //满足要求操作 board[row][col] = k; //找到一组，立即返回 if (backtrack(board)) { return true; } //回溯，撤销填入 board[row][col] = '.'; } //9个数试完了，不行，返回false return false; } } return true; } //判断是否符合数独要求 boolean isValid(char[][] board, int row, int col, char val) { //判断行是否重复 for (int i = 0; i < 9; i++) { if (board[row][i] == val) { return false; } } //判断列是否重复 for (int j = 0; j < 9; j++) { if (board[j][col] == val) { return false; } } //判断小9宫格是否重复 int startRow = (row / 3) * 3; int startCol = (col / 3) * 3; for (int i = startRow; i < startRow + 3; i++) { for (int j = startCol; j < startCol + 3; j++) { if (board[i][j] == val) { return false; } } } return true; } }
总结
接着顺口溜总结：
简单的事情重复做，重复的事情认真做，认真的事情有创造性地做。
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