1 Motivation of Aggregation
首先举个例子来说明为什么要使用Aggregation。假如你有T个朋友，每个朋友向你预测推荐明天某支股票会涨还是会跌，对应的建议分别是g1,g2,⋯,gT，那么你该选择哪个朋友的建议呢？即最终选择对股票预测的gt(x)是什么样的？
第一种方法是从T个朋友中选择一个最受信任，对股票预测能力最强的人，直接听从他的建议就好。这是一种普遍的做法，对应的就是validation思想，即选择犯错误最小的模型。第二种方法，如果每个朋友在股票预测方面都是比较厉害的，都有各自的专长，那么就同时考虑T个朋友的建议，将所有结果做个投票，一人一票，最终决定出对该支股票的预测。这种方法对应的是uniformly思想。第三种方法，如果每个朋友水平不一，有的比较厉害，投票比重应该更大一些，有的比较差，投票比重应该更小一些。那么，仍然对T个朋友进行投票，只是每个人的投票权重不同。这种方法对应的是non-uniformly的思想。第四种方法与第三种方法类似，但是权重不是固定的，根据不同的条件，给予不同的权重。比如如果是传统行业的股票，那么给这方面比较厉害的朋友较高的投票权重，如果是服务行业，那么就给这方面比较厉害的朋友较高的投票权重。以上所述的这四种方法都是将不同人不同意见融合起来的方式，接下来我们就要讨论如何将这些做法对应到机器学习中去。Aggregation的思想与这个例子是类似的，即把多个hypothesis结合起来，得到更好的预测效果。
将刚刚举的例子的各种方法用数学化的语言和机器学习符号归纳表示出来，其中G(x)表示最终选择的模型。
注意这里提到的第一种方法是通过验证集来选择最佳模型，不能使用Ein(gt)来代替Eval(gt−)。经过Validation，选择最小的Eval，保证Eout最小，从而将对应的模型作为最佳的选择。
但是第一种方法只是从众多可能的hypothesis中选择最好的模型，并不能发挥集体的智慧。而Aggregation的思想是博采众长，将可能的hypothesis优势集合起来，将集体智慧融合起来，使预测模型达到更好的效果。
下面先来看一个例子，通过这个例子说明为什么Aggregation能work得更好。
如上图所示，平面上分布着一些待分类的点。如果要求只能用一条水平的线或者垂直的线进行分类，那不论怎么选取直线，都达不到最佳的分类效果。这实际上就是上面介绍的第一种方法：validation。但是，如果可以使用集体智慧，比如一条水平线和两条垂直线组合而成的图中折线形式，就可以将所有的点完全分开，得到了最优化的预测模型。
这个例子表明，通过将不同的hypotheses均匀地结合起来，得到了比单一hypothesis更好的预测模型。这就是aggregation的优势所在，它提高了预测模型的power，起到了特征转换（feature transform）的效果。
这无数条PLA选择出来的直线对应的hypothesis都是满足分类要求的。但是我们最想得到的分类直线是中间那条距离所有点都比较远的黑色直线，这与之前SVM目标是一致的。如果我们将所有可能的hypothesis结合起来，以投票的方式进行组合选择，最终会发现投票得到的分类线就是中间和黑色那条。这从哲学的角度来说，就是对各种效果较好的可能性进行组合，得到的结果一般是中庸的、最合适的，即对应图中那条黑色直线。所以，aggregation也起到了正则化（regularization）的效果，让预测模型更具有代表性。
基于以上的两个例子，我们得到了aggregation的两个优势：feature transform和regularization。我们之前在机器学习基石课程中就介绍过，feature transform和regularization是对立的，还把它们分别比作踩油门和踩刹车。如果进行feature transform，那么regularization的效果通常很差，反之亦然。也就是说，单一模型通常只能倾向于feature transform和regularization之一，在两者之间做个权衡。但是aggregation却能将feature transform和regularization各自的优势结合起来，好比把油门和刹车都控制得很好，从而得到不错的预测模型。
2 Uniform Blending
那对于我们已经选择的性能较好的一些矩gt，如何将它们进行整合、合并，来得到最佳的预测模型呢？这个过程称为blending。
最常用的一种方法是uniform blending，应用于classification分类问题，做法是将每一个可能的矩赋予权重1，进行投票，得到的G(x)表示为：
这种方法对应三种情况：第一种情况是每个候选的矩gt都完全一样，这跟选其中任意一个gt效果相同；第二种情况是每个候选的矩gt都有一些差别，这是最常遇到的，大都可以通过投票的形式使多数意见修正少数意见，从而得到很好的模型，如下图所示；第三种情况是多分类问题，选择投票数最多的那一类即可。
如果是regression回归问题，uniform blending的做法很简单，就是将所有的矩gt求平均值：
uniform blending for regression对应两种情况：第一种情况是每个候选的矩gt都完全一样，这跟选其中任意一个gt效果相同；第二种情况是每个候选的矩gt都有一些差别，有的gt>f(x)，有的gt<f(x)，此时求平均值的操作可能会消去这种大于和小于的影响，从而得到更好的回归模型。因此，从直觉上来说，求平均值的操作更加稳定，更加准确。
对于uniform blending，一般要求每个候选的矩gt都有一些差别。这样，通过不同矩gt的组合和集体智慧，都能得到比单一矩gt更好的模型。
刚才我们提到了uniform blending for regression中，计算gt的平均值可能比单一的gt更稳定，更准确。下面进行简单的推导和证明。
我们已经知道G是数目为T的gt的平均值。令包含N个数据的样本D独立同分布于P的N次方，每次从新的Dt中学习得到新的gt，在对gt求平均得到G，当做无限多次，即T趋向于无穷大的时候：
上述等式中左边表示演算法误差的期望值；右边第二项表示不同gt的平均误差共识，用偏差bias表示；右边第一项表示不同gt与共识的差距是多少，反映gt之间的偏差，用方差variance表示。也就是说，一个演算法的平均表现可以被拆成两项，一个是所有gt的共识，一个是不同gt之间的差距是多少，即bias和variance。而uniform blending的操作时求平均的过程，这样就削减弱化了上式第一项variance的值，从而演算法的表现就更好了，能得到更加稳定的表现。
3 Linear and Any Blending
上一部分讲的是uniform blending，即每个gt所占的权重都是1，求平均的思想。下面我们将介绍linear blending，每个gt赋予的权重αt并不相同，其中αt≥0。我们最终得到的预测结果等于所有gt的线性组合。
这种求解αt的方法就像是使用two-level learning，类似于我们之前介绍的probabilistic SVM。这里，我们先计算gt(xn)，再进行linear regression得到αt值。总的来说，linear blending由三个部分组成：LinModel, hypotheses as transform, constraints。其中值得注意的一点就是，计算过程中可以把gt当成feature transform，求解过程就跟之前没有什么不同，除了α≥0的条件限制。
我们来看一下linear blending中的constraint αt≥0。这个条件是否一定要成立呢？如果αt<0，会带来什么后果呢？其实αt<0并不会影响分类效果，只需要将正类看成负类，负类当成正类即可。例如分类问题，判断该点是正类对应的αt<0，则它就表示该点是负类，且对应的−αt>0。如果我们说这个样本是正类的概率是-99%，意思也就是说该样本是负类的概率是99%。αt≥0和αt<0的效果是等同的一致的。所以，我们可以把αt≥0这个条件舍去，这样linear blending就可以使用常规方法求解。
除了linear blending之外，还可以使用任意形式的blending。linear blending中，G(t)是g(t)的线性组合；any blending中，G(t)可以是g(t)的任何函数形式（非线性）。这种形式的blending也叫做Stacking。any blending的优点是模型复杂度提高，更容易获得更好的预测模型；缺点是复杂模型也容易带来过拟合的危险。所以，在使用any blending的过程中要时刻注意避免过拟合发生，通过采用regularization的方法，让模型具有更好的泛化能力。
4 Bagging(Bootstrap Aggregation)
总结一些上面讲的内容，blending的做法就是将已经得到的矩gt进行aggregate的操作。具体的aggregation形式包括：uniform，non-uniforn和conditional。
现在考虑一个问题：如何得到不同的gt呢？可以选取不同模型H；可以设置不同的参数，例如η、迭代次数n等；可以由算法的随机性得到，例如PLA、随机种子等；可以选择不同的数据样本等。这些方法都可能得到不同的gt。
那如何利用已有的一份数据集来构造出不同的gt呢？首先，我们回顾一下之前介绍的bias-variance，即一个演算法的平均表现可以被拆成两项，一个是所有gt的共识（bias），一个是不同gt之间的差距是多少（variance）。其中每个gt都是需要新的数据集的。只有一份数据集的情况下，如何构造新的数据集？、
下面举个实际中Bagging Pocket算法的例子。如下图所示，先通过bootstrapping得到25个不同样本集，再使用pocket算法得到25个不同的gt，每个pocket算法迭代1000次。最后，再利用blending，将所有的gt融合起来，得到最终的分类线，如图中黑线所示。可以看出，虽然bootstrapping会得到差别很大的分类线（灰线），但是经过blending后，得到的分类线效果是不错的，则bagging通常能得到最佳的分类模型。
值得注意的是，只有当演算法对数据样本分布比较敏感的情况下，才有比较好的表现。
