一、稀疏编码（Sparse Coding）
1. 稀疏编码的概念
稀疏编码最早由 Olshausen 和 Field 于 1996 年提出，用于解释大脑中的初期视觉处理（比如边缘检测）。
目标：给定一组输入数据向量 { x1,x2,...,xN }，去学习一组基字典（dictionary of bases）：
满足：
其中 ank 的值大部分都为 0，所以称为「稀疏」。每一个数据向量都由稀疏线性权值与基的组合形式来表达。
2. 稀疏编码的训练
为输入图像片段；
为要学习的基字典（dictionary of bases）。
这个表达式的第一项为重构误差项；第二项为稀疏惩罚项。
交替性优化：
1. 固定基字典，求解激活值 a（这是一个标准的 Lasso 问题）；
2. 固定激活值 a，优化基字典（凸二次规划问题——convex QP problem）。
3. 稀疏编码的测试过程
- 输入为一个新图像片段 x* , 和 K 个可学习的基；
- 输出为一个图像片段 x* 的稀疏表达 a（sparse representation）。
[0, 0, ..., 0.8, ..., 0.3 ..., 0.5, ...] 为系数矩阵，也叫做特征表示（feature representation）。
下图为应用稀疏编码进行图像分类的相关实验结果，该实验是在 Caltech101 物体类别数据集中完成的，并且用经典的 SVM 作为分类算法。
4. 稀疏编码的相关解释
- a 是稀疏，且过完备（over-complete）的表征；
- 编码函数 a = f(x) 是 x 的隐函数和非线性函数；
- 而重构（解码）函数 x' = g(a) 是线性且显性的。
二、自编码器（Autoencoder）
1. 自编码器结构
- 编码器和解码器内部的详细数据信息至关重要；
2. 自编码器范例
如上图所示，编码器的过滤器（filters）为 W，函数为 Sigmoid 函数，
解码器的过滤器（filters）为 D , 函数为线性回归函数。
这是一个拥有 D 个输入和 D 个输出的自编码器，并且包括 K 个隐单元（hidden units）, K<D。给定输入 x，它的重构函数为：
我们可以通过使重构误差（reconstruction error）最小化来决定网络的参数 W 和 D ：
3. 其它自编码模型
- 如果隐蔽层（hidden layer）和输出层是线性的，它将会对隐单元（hidden units）进行学习，这些隐单元是数据的线性方程，并且可以使方差最小化。这 K 个隐单元将会像前 K 个主成分（first k principal components）一样，覆盖相同的空间。这些权重矢量可能不是正交的。
- 对于非线性隐单元的情况来说，我们会利用 PCA（Principal Component Analysis）的非线性泛化（nonlinear generalization）来进行处理。
- 和限制性玻尔兹曼机（Restricted Boltzmann Machines）相关。
预测稀疏分解（Predictive Sparse Decomposition）：
在训练过程中：
可以看到，这种结构在解码器部分加入了稀疏惩罚项（详见以上关于稀疏编码的内容）。
4. 堆叠式自编码器（Stacked Autoencoder）
这是一种「贪婪」的分层学习。如果我们去掉解码器部分，并且只使用前馈部分，会发现这是一个标准的类似于卷积神经网络的结构，参考下图。可以使用反向传播来对参数进行调校。
5. 深度自编码器结构及其相关实验结果
- 第一行：从测试数据集中随机采样；
- 第二行：用 30 维的自编码器进行重构得到的结果；
- 第三行：用 30 维的 PCA 进行重构得到的结果。
