线性代数的本质
文章目录
视频：https://www.bilibili.com/video/BV1ys411472E
1、向量究竟是什么
物理解释：向量是空间中的箭头（长度、方向）
计算机解释：向量是有序的数字列表
点point (2, 3)
线性代数围绕两种基本的运算：
向量加法与向量数乘
加法：位移结果
数轴Number line 加法
向量加法
缩放：标量scalar * 向量
2、线性组合、张成的空间、基
单位向量（基向量）
缩放向量并且相加
当使用数字描述向量时，都依赖于我们正在使用的基
线性组合：两个数乘向量的和被称为这两个向量的线性组合
全部线性组合构成的向量合称为“张成的空间”
单个向量看做箭头，多个向量看做点
线性相关 Linearly dependent：多个向量，移除其中一个不减小张成的空间
线性无关 Linearly independent：如果所有的向量都给张成的空间增加了新的维度
严格定义：
向量空间的一组基是张成该空间的一个线性无关向量集
3、矩阵与线性变换
变换 <=> 函数
矩阵看做是空间的变换
线性的条件：
- 直线在变换后仍然保持为直线，不能有所弯曲
- 原点必须保持固定
两个点 (a, c)、(b, d)，矩阵的乘法
2、剪切基向量对角线剪开
i=(1, 0), j=(0, 1) => (0, 1), (1, 1)
A (2, 2) => (2, 4)
4、矩阵乘法与线性变换复合
复合变换
旋转矩阵 + 剪切矩阵 => 复合矩阵
矩阵乘法
5、三维空间中的线性变换
三维空间中坐标x,y,z 对应基向量
6、行列式
缩放比例，线性变换改变面积的比例被称为这个变换的行列式
行列式为正
行列式为0 变换减少了空间的维度
行列式为负 变换改变了空间的定向
右手定则
右手食指指向i-hat方向
右手中指指向j-hat方向
大拇指竖起来，指向k-hat方向
计算行列式
三阶行列式 （体积）
性质
7、逆矩阵、列空间与零空间
逆矩阵Inverse matrices 存在时，可以用来求解方程组
秩 Rank ：变换后空间的维数
列空间 Column space：所有可能的变换结果集合
变换后基向量张成的空间，就是所有可能的结果
换句话说，列空间就是矩阵的列所张成的空间
秩是列空间的维数
满秩Full rank：秩与列数相等
列空间与方程组解的个数有关
矩阵的零空间 null space 变换后落在原点的向量的集合
8、非方阵
9、点积和对偶性
两个向量点积（数量积/投影）
10、叉积
平行边行的面积
11、基变换
##12、特征向量与特征值
能够被A拉伸且保持方向不变的向量就是A的特征向量，拉伸的倍数就是特征值
特征值：每个特征向量都有一个所属的值，衡量特征向量在变换中拉伸或压缩比例的因子
对角矩阵
一组基向量（同样是特征向量）构成的集合被称为一组“特征基”
示例：求矩阵特征值,特征向量
13、抽象向量空间
线性代数 |
函数 |
线性变换 |
线性算子 |
点积 |
内积 |
特征向量 |
特征函数 |
向量加法和数乘
克莱姆法则
