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败家还是持家?看你懂不懂购物算法!

简介:

人生的很多选择都是在充满不确定性时做出的。当面对这些选择时,你需要用到手头的所有信息来做明智的选择。不论是娱乐消遣还是现实生活,许多概率问题都与如何选择最佳概率有关。


亚马逊在线商店有一个功能叫做“金盒子”。当你点击进去的时候,里面会有十种不同类型的商品,从书籍到DVD,从厨具到“松下ER411NC鼻毛和耳毛修剪器”。每一次都只会出现一种产品,当你决定是买或者跳过之后,才会出现下一种产品,以前当你决定买下一款产品时剩下的产品就不会再展示了;但是现在你可以随心所欲选择多件产品,只是你依然不能回看之前的产品和修改订单。假设你现在不多不少只需买一件产品。


那么你该采取什么策略才能将赢的概率最大化,也就是买到最优惠的产品呢?


我认为“最优惠产品”指的是你看到了全部的十件优惠产品,然后按优惠的程度从高到低排列,然后买最优惠的产品。但是现在的问题就在于你每次只能看到一个,而且要立刻决定是买还是跳过。我们该怎么办呢?


假设你采用的是缺乏耐心的策略——总是买第一件产品。所有的产品都是随机排列,你有10%的机会选到最优惠的产品。


假设你采取的是犹豫不决的策略,每次都看完所有十个产品,然后只能选择最后一个产品,这时你依然有10%的机会选到最优惠的产品。


假设你采取的是随机的策略,随意在第一个产品和第十个产品中挑一个产品,然后买下。这时你选购最优惠产品的概率依然是10%。


那么有更好的方法吗?


当然有。首先看完前五个产品,从中选择一个最优惠的产品,将它称为目标产品。然后继续看接下来的产品,如果发现有一个产品比这个目标产品还要优惠,那么就买下它。如果剩下的五个产品没有一个比目标产品还要优惠,那说明目标产品就是最优惠的产品,但你却错过了它,不得不买最后一个产品。


如果你采取这种购物策略的话你赢的概率就是25%。因为如果次优惠产品在前五个产品中,最优惠产品在后五个产品中你就能保证成功。次优惠产品在前五个产品中的概率是5/10=1/2(因为最优惠产品在任何位置出现都是等可能的)。在这个前提之下,最优惠产品在后五件产品中的概率是5/9(剩下的9个位置中出现最优惠产品都是等可能的)。两个事件同时发生的概率需要利用乘法原则计算条件概率,即P(第二优惠产品在前五个产品中,最优惠产品在后五个产品中)=1/2×5/9=5/18≈0.28 这个数字显然要比0.25大。


事实上赢的概率会比上述计算出来的更大,因为这并不包含你所有能赢的方式。比如说,当最优惠选择是第六件产品,而第二优惠产品在第七件至第十件产品之间,在这种情况你也会赢。还存在其他赢的情形。当然最优惠的产品必须在后五件产品之中,而且不会被之后将会出现的产品超过,你才会赢。你可以通过列出所有赢的情形来计算这个概率,但是这也太无聊了。你可以设定一个小一点的数字,比如说四种产品,然后再列出来所有赢的情形。当有四种产品时一共有4!=24种排列产品的方式,你可以数出来所有赢的情形。你可以用跳过“前面一半” 的策略(比如,从1到4的产品中,1号产品是最优惠的产品,在4321、3412等类似情形下都会赢)。你会得出赢的概率是10/24。


假设现在不止有十件产品可以选择,而是有一百件产品可供选择。你还是用这种策略:先找出前五十种产品中最优惠的产品,然后再看接下去的产品,当有产品比这个目标产品更优惠时就选择这个产品。当目标产品是次优惠产品,而最优惠产品是在后五十种产品之中的情况,这种情况下你一定会赢。此时赢的概率是50/100×50/99=25/99,比1/4(等于25/100) 要大一些。在其他情况下你可能也会赢,但是赢的概率会低于25%。 这让你意识到不论一共有多少种产品供选择,你选到最优惠产品的概率会维持在一个水平不变。即使有一百万种选择,你可以在前五十万种产品中选择一个最优惠的目标产品,然后再依次看后五十万种产品,当出现比目标产品更优惠的产品时买下它。这时你赢的概率依然是低于25%的。看起来机会挺大了,但这依然不是你可以做出的最佳选择。


有一个更好的策略:在前37%产品中选择最优惠的产品,再接下来的产品中有比这个产品更优惠的就买下来。那么此时你赢的概率是37%。这个策略是最优策略;其他策略再复杂也不可能让你赢的概率更高。当可供选择的产品越多就越接近37%。 在“金盒子” 问题中,10的3.7%是3.7,所以你得到的结果是4。


这个问题是概率学中的经典问题,它常常出现在公主如何在一群求婚者中挑出最优秀的人,或是王子如何挑选出嫁妆最丰厚的新娘。(微信中回复“算法”,即可阅读奇文《波斯公主选驸马:关于算法和重大决策》)


编后语:尽管我们总是去试图寻找最佳策略,但在现实中往往被乱花迷乱了双眼,在众多选择面前犹豫不决,反而错失良机、美物…又或者有的时候根本不是选择的问题,就好像那些个经典的老梗——小时候,我经常纠结:长大后,是上清华好,还是上北大好呢?长大后,我才发现,我真的想太多了…神马选择恐惧症?还不是因为穷%>_<%


原文发布时间为:2015-03-07

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