第13周报告2：定义自定义函数，计算sin和cos的近似值

任务2：先听故事，再编程序。故事是这样的：话说sin和cos是一对夫妇。一天，sin去听相声了，cos在家。过了一会，有人敲门，cos开门一看，是一个不认识的多项式函数。cos问：你是谁啊？他说：我是你的老公sin啊。cos说：你不是去听相声了吗？怎么成这幅摸样了？他说：是啊，太乐了！故事讲完了。不懂吗？好好学高数。否则，挂了不冤。

 
编程序求出sin(π/2)、cos(87°)
程序的要求是这样的：（1）求sin、cos时，不能用数学库函数(即不得用#include<Cmath>)，而是自己编函数实现，为区别，可以分别起名为mysin和mycos；（2）自定义函数要写在main函数之后；（3）自定义函数的效率问题必须考虑；（4）关于精度：当最后一项的绝对值小于0.00001时，累加结束。

实验目的：学会使用自定义函数解决实际问题
实验内容：定义自定义函数，计算sin和cos的近似值

【先上调试后正确的程序】此程序上我也经历了和大家一样的磨难，犯的错误很“隐蔽”，将在后面细表。

/* 程序头部注释开始
* 程序的版权和版本声明部分
* Copyright (c) 2011, 烟台大学计算机学院学生
* All rights reserved.
* 文件名称： sin_and_cos.cpp                           
* 作    者： 贺利坚                           
* 完成日期： 2011 年 11 月 22 日
* 版本 号： v2.0        
 
* 对任务及求解方法的描述部分
* 输入描述：无
* 问题描述：自定义函数，用泰勒公式实现计算sin和cos的近似值，要求：（1）求sin、cos时，不能用数学库函数(即不得用#include<Cmath>)，而是自己编函数实现，为区别，可以分别起名为mysin和mycos；（2）自定义函数要写在main函数之后；（3）自定义函数的效率问题必须考虑；（4）关于精度：当最后一项的绝对值小于0.00001时，累加结束。
* 程序输出：sin(π/2)、cos(87°)的值（提示：用泰勒公式在π/2附近误差较大，输出分别为0.911557和-0.26322，而真值分别为1和0.052336，当度数较小时，效果要好一些。）
* 算法设计：使用泰勒公式
* 程序头部的注释结束（此处也删除了斜杠）
*/
#include <iostream> 
#include<Cmath>  //为便于对比结果，main函数中调用了Cmath中的库函数sin和cos
using namespace std;
const double pi=3.1415926;
double mysin(double);
double mycos(double);
double myabs(double);   //程序中需要求精度的绝对值，也用自定义函数完成吧
int main( )
{
   cout<<"sin(π/2)的值为"<<mysin(pi/2)<<endl;
   cout<<"cos(87°)的值为"<<mycos((87.0/180)*pi)<<endl;
   cout<<"利用库函数求得sin(π/2)的值为"<<sin(pi/2)<<endl;
   cout<<"利用库函数求得cos(87°)的值为"<<cos((87.0/180)*pi)<<endl;
   system("PAUSE");
   return 0;
}
//下面定义mysin函数
double mysin(double x)
{
   double sum=x,x_pow=x,item;
   int n=1,fact=1,sign=1;     //定义变量时赋初值，已经将第一项考虑到累加和sum中
   do
   {
            fact=fact*(n+1)*(n+2);  //fact用于表示阶乘，在公式中作分母
             x_pow*=x*x;             //x_pow是分子中用于表示阶乘，在公式中作分母
             sign=-sign;             //确定即将要累加的这一项的符号
             item =x_pow/fact*sign; //计算出要累加的项
             sum+=item;              //将该项累加上去
             n+=2;
  }while(myabs(item)>1e-5);
   return sum;
}
 
//下面定义mycos函数
double mycos(double x)
{
   double sum=1,x_pow=1,item;
   int n=0,fact=1,sign=-1;
   do
   {
            fact=fact*(n+1)*(n+2);
             x_pow*=x*x;
             item =x_pow/fact*sign;
             sum+=item;
             sign=-sign;
             n+=2;
  }while(myabs(item)>0.00001);
   return sum;
}
 
//下面定义myabs函数
double myabs(double x)
{
   return ((x>=0)?x:-x);
}

运行结果：

经验积累：

1. 做科学计算时，需要对所用方法的数学性质有所了解

2. 取合适的变量名（sum,x_pow,item,n,fact,sign）有助于以一种清晰的思路解题，保证了程序的可读性

3. 对于复杂的计算，不妨多设几个变量，将他们间的关系分清楚，可以会多费些内存，但对正确性的保证无可替代

  【下面讲讲我犯的愚蠢的错误】仔细看看这个程序，和我一起分析清楚问题，是我对大家最大的贡献。

  原先，我的nysin函数是这样写的，貌似合理：

double mysin(double x)
{
 double sum=x,item=x;
 int n=1,fact=1,sign=-1;
 do
 {
  fact=fact*(n+1)*(n+2);  //求阶乘
  item =item*x*x/fact*sign;  //要加的项
  sum+=item;   //累加
  sign=-sign;
  n+=2;
 }while(myabs(item)>1e-5);
 return sum;
}

  怎么办？泰勒公式会有问题？我没错！带着这个心理，我在指导书写下了泰勒公式可能的误差的文字。现在想来，这是多么不严谨的做法，以至于后来一再改模板。

  逐渐想到，还是程序中有错误。我们现在一起找一下。

  针对泰勒公式：

  在变量定义的同时，通过赋初值，已经考虑了将x加到sum中：

     double sum=x,item=x;

     int n=1,fact=1,sign=-1;

  下面需要构造进入循环以后将各项一正一负地累加到sum中。

  当第1次进行循环：

    fact=fact*(n+1)*(n+2);  得到了3！

    item =item*x*x/fact*sign;  求得要加的项是-x^3/3!，没错。(x^3表示x的3次方，在此只为方便表达，并不是C++中的合法运算。)

    sum+=item; 得到了x-x^3/3!。

    随后sign变为1、n自增2变为5。都没有问题。

  第2次进入循环：

    fact=fact*(n+1)*(n+2);  得到了5！，没错

    item = item*x*x/fact*sign;呢？这时才发现item将变为(-x^3/3!)*x*x/5!*1=-(x^5)/(3!*5!)，不仅分母不对，符号也不对。

  ！！！！

  这时，只有敲自己的脑袋了（师生似乎都一样的）。

  于是，有了上面提交的结果。

  仔细反思，这儿犯的错误根源是，让item变量承担了多项职责。我们设置变量的原则是，每个变量的功能尽可能单一。

  再看正确做法中，fact、 x_pow、item 、sum和sign的含义，清楚多了。很多同学的程序中，即使功能单一，用诸如a、b、c、d、e、f、g等做变量，只能搞糊涂自己。

  至于mycos，类似的问题，不再多说。

  【同学们解法中的一个典型错误】

  有不止一位同学的程序中，函数定义由double mysin(double x)开始，这没有问题，x是形式参数。

  但是在函数体内，有些同学对x重新赋值：x=pi/2；有些同学将本该出现x的地方直接写作了（pi/2）。的确，这样做能够求出sin(pi/2)的值，但是，这也使得你定义的函数只能求得sin(pi/2)的值了。我后悔在任务中应该多加一个求sin(pi/4)，这样能启发同学们改过来。

  一定要注意，尽管我们编程序解决某个具体问题，但是写出的函数还是要“通用”一些才好，这体现出的是程序与数据的“独立性”。慢慢体会吧。