第3章
跳跃表
有序集合在生活中较常见，如根据成绩对学生进行排名、根据得分对游戏玩家进行排名等。对于有序集合的底层实现，我们可以使用数组、链表、平衡树等结构。数组不便于元素的插入和删除；链表的查询效率低，需要遍历所有元素；平衡树或者红黑树等结构虽然效率高但实现复杂。Redis采用了一种新型的数据结构——跳跃表。跳跃表的效率堪比红黑树，然而其实现却远比红黑树简单。
3.1 简介
在了解跳跃表之前，我们先了解一下有序链表。有序链表是所有元素以递增或递减方式有序排列的数据结构，其中每个节点都有指向下个节点的next指针，最后一个节点的next指针指向NULL。递增有序链表举例如图3-1所示。
如图3-1所示的有序链表，如果要查询值为51的元素，需要从第一个元素开始依次向后查找、比较才可以找到，查找顺序为1→11→21→31→41→51，共6次比较，时间复杂度为O(N)。有序链表的插入和删除操作都需要先找到合适的位置再修改next指针，修改操作基本不消耗时间，所以插入、删除、修改有序链表的耗时主要在查找元素上。
如果我们将有序链表中的部分节点分层，每一层都是一个有序链表。在查找时优先从最高层开始向后查找，当到达某节点时，如果next节点值大于要查找的值或next指针指向NULL，则从当前节点下降一层继续向后查找，这样是否可以提升查找效率呢？
分层有序链表如图3-2所示，我们再次查找值为51的节点，查找步骤如下。
1）从第2层开始，1节点比51节点小，向后比较。
2）21节点比51节点小，继续向后比较。第2层21节点的next指针指向NULL，所以从21节点开始需要下降一层到第1层继续向后比较。
3）第1层中，21节点的next节点为41节点，41节点比51节点小，继续向后比较。第1层41节点的next节点为61节点，比要查找的51节点大，所以从41节点开始下降一层到第0层继续向后比较。
4）在第0层，51节点为要查询的节点，节点被找到。
采用图3-2所示的数据结构后，总共查找4次就可以找到51节点，比有序链表少2次。当数据量大时，优势会更明显。
综上所述，通过将有序集合的部分节点分层，由最上层开始依次向后查找，如果本层的next节点大于要查找的值或next节点为NULL，则从本节点开始，降低一层继续向后查找，依次类推，如果找到则返回节点；否则返回NULL。采用该原理查找节点，在节点数量比较多时，可以跳过一些节点，查询效率大大提升，这就是跳跃表的基本思想。
跳跃表的实现过程如图3-3所示。
从图3-3中我们可以看出跳跃表有如下性质。
1）跳跃表由很多层构成。
2）跳跃表有一个头（header）节点，头节点中有一个64层的结构，每层的结构包含指向本层的下个节点的指针, 指向本层下个节点中间所跨越的节点个数为本层的跨度（span）。
3）除头节点外，层数最多的节点的层高为跳跃表的高度（level），图3-3中跳跃表的高度为3。
4）每层都是一个有序链表，数据递增。
5）除header节点外，一个元素在上层有序链表中出现，则它一定会在下层有序链表中出现。
6）跳跃表每层最后一个节点指向NULL，表示本层有序链表的结束。
7）跳跃表拥有一个tail指针，指向跳跃表最后一个节点。
8）最底层的有序链表包含所有节点，最底层的节点个数为跳跃表的长度（length）（不包括头节点），图3-3中跳跃表的长度为7。
9）每个节点包含一个后退指针，头节点和第一个节点指向NULL；其他节点指向最底层的前一个节点。
跳跃表每个节点维护了多个指向其他节点的指针，所以在跳跃表进行查找、插入、删除操作时可以跳过一些节点，快速找到操作需要的节点。归根结底，跳跃表是以牺牲空间的形式来达到快速查找的目的。跳跃表与平衡树相比，实现方式更简单，只要熟悉有序链表，就可以轻松地掌握跳跃表。
3.2 跳跃表节点与结构
由3.1节我们知道，跳跃表由多个节点构成，每个节点由很多层构成，每层都有指向本层下个节点的指针。那么，Redis中的跳跃表是如何实现的呢？
3.2.1 跳跃表节点
下面我们来看跳跃表节点的zskiplistNode结构体。
typedef struct zskiplistNode {
sds ele;
double score;
struct zskiplistNode *backward;
struct zskiplistLevel {
struct zskiplistNode *forward;
unsigned int span;
} level[];} zskiplistNode;
该结构体包含如下属性。
1）ele：用于存储字符串类型的数据。
2）score：用于存储排序的分值。
3）backward：后退指针，只能指向当前节点最底层的前一个节点，头节点和第一个节点—backward指向NULL，从后向前遍历跳跃表时使用。
4）level：为柔性数组。每个节点的数组长度不一样，在生成跳跃表节点时，随机生成一个1～64的值，值越大出现的概率越低。
level数组的每项包含以下两个元素。
□forward：指向本层下一个节点，尾节点的forward指向NULL。
□span：forward指向的节点与本节点之间的元素个数。span值越大，跳过的节点个数越多。
跳跃表是Redis有序集合的底层实现方式之一，所以每个节点的ele存储有序集合的成员member值，score存储成员score值。所有节点的分值是按从小到大的方式排序的，当有序集合的成员分值相同时，节点会按member的字典序进行排序。
3.2.2 跳跃表结构
除了跳跃表节点外，还需要一个跳跃表结构来管理节点，Redis使用zskiplist结构体，定义如下：
typedef struct zskiplist {
struct zskiplistNode *header, *tail;
unsigned long length;
int level;} zskiplist;
该结构体包含如下属性。
1）header：指向跳跃表头节点。头节点是跳跃表的一个特殊节点，它的level数组元素个数为64。头节点在有序集合中不存储任何member和score值，ele值为NULL，score值为0；也不计入跳跃表的总长度。头节点在初始化时，64个元素的forward都指向NULL，span值都为0。
2）tail：指向跳跃表尾节点。
3）length：跳跃表长度，表示除头节点之外的节点总数。
4）level：跳跃表的高度。
通过跳跃表结构体的属性我们可以看到，程序可以在O(1)的时间复杂度下, 快速获取到跳跃表的头节点、尾节点、长度和高度。
3.3 基本操作
我们已经知道了跳跃表节点和跳跃表结构体的定义，下面我们分别介绍跳跃表的创建、插入、查找和删除操作。
3.3.1 创建跳跃表
1．节点层高
节点层高的最小值为1，最大值是ZSKIPLIST_MAXLEVEL，Redis5中节点层高的值为64。
#define ZSKIPLIST_MAXLEVEL 64
Redis通过zslRandomLevel函数随机生成一个1～64的值，作为新建节点的高度，值越大出现的概率越低。节点层高确定之后便不会再修改。生成随机层高的代码如下。
上述代码中，level的初始值为1，通过while循环，每次生成一个随机值，取这个值的低16位作为x，当x小于0.25倍的0xFFFF时，level的值加1；否则退出while循环。最终返回level和ZSKIPLIST_MAXLEVEL两者中的最小值。
下面计算节点的期望层高。假设p=ZSKIPLIST_P：
1）节点层高为1的概率为(1-p)。
2）节点层高为2的概率为p(1-p)。
3）节点层高为3的概率为p^2(1-p)。
4）……
5）节点层高为n的概率为p^n-1(1-p)。
所以节点的期望层高为
当p＝0.25时，跳跃表节点的期望层高为1/(1-0.25)≈1.33。
2.创建跳跃表节点
跳跃表的每个节点都是有序集合的一个元素，在创建跳跃表节点时，待创建节点的层高、分值、member等都已确定。对于跳跃表的每个节点，我们需要申请内存来存储，代码如下。
zskiplistNode *zn =
zmalloc(sizeof(zn)+levelsizeof(struct zskiplistLevel));
zskiplistNode结构体的最后一个元素为柔性数组，申请内存时需要指定柔性数组的大小，一个节点占用的内存大小为zskiplistNode的内存大小与level个zskiplistLevel的内存大小之和。
分配好空间之后，进行节点变量初始化。代码如下。
zn->score = score;
zn->ele = ele;
return zn;
3.头节点
头节点是一个特殊的节点，不存储有序集合的member信息。头节点是跳跃表中第一个插入的节点，其level数组的每项forward都为NULL，span值都为0。
for (j = 0; j < ZSKIPLIST_MAXLEVEL; j++) {
zsl->header->level[j].forward = NULL;
zsl->header->level[j].span = 0;}
4.创建跳跃表的步骤
创建完头节点后，就可以创建跳跃表。创建跳跃表的步骤如下。
1）创建跳跃表结构体对象zsl。
2）将zsl的头节点指针指向新创建的头节点。
3）跳跃表层高初始化为1，长度初始化为0，尾节点指向NULL。
相关代码如下。
zskiplist *zsl;
zsl = zmalloc(sizeof(*zsl));
zsl->header = zslCreateNode(ZSKIPLIST_MAXLEVEL,0,NULL);
zsl->header->backward = NULL;
zsl->level = 1;
zsl->length = 0;
zsl->tail = NULL;
3.3.2 插入节点
插入节点的步骤：① 查找要插入的位置；② 调整跳跃表高度；③ 插入节点；④ 调整backward。
1.查找要插入的位置
查找是跳跃表操作中使用最多的操作，无论是获取、插入还是删除，都需要查找到指定的节点位置。通过3.1节内容，我们已经大概知道了跳跃表查找的基本逻辑，下面借助跳跃表的插入节点的过程深入了解跳跃表的查找过程。
如图3-4所示的跳跃表，长度为3，高度为2。若要插入一个节点，分值为31，层高为3，则插入节点时查找被更新节点的代码如下。
x = zsl->header;
for (i = zsl->level-1; i >= 0; i--) {
rank[i] = i == (zsl->level-1) ? 0 : rank[i+1];
while (x->level[i].forward &&
(x->level[i].forward->score < score ||
(x->level[i].forward->score == score &&
sdscmp(x->level[i].forward->ele,ele) < 0)))
{
rank[i] += x->level[i].span;
x = x->level[i].forward;
}
update[i] = x;}
为了找到要更新的节点，我们需要以下两个长度为64的数组来辅助操作。
update[]：插入节点时，需要更新被插入节点每层的前一个节点。由于每层更新的节点不一样，所以将每层需要更新的节点记录在update[i]中。
rank[]：记录当前层从header节点到update[i]节点所经历的步长，在更新update[i]的span和设置新插入节点的span时用到。
查找节点（score=31，level=3）的插入位置，逻辑如下。
1）第一次for循环，i=1。x为跳跃表的头节点。
2）此时i的值与zsl->level-1相等，所以rank[1]的值为0。
3）header->level[1].forward存在，并且header->level[1].forward->score==1小于要插入的score，所以可以进入while循环，rank[1]=1，x为第一个节点。
4）第一个节点的第1层的forward指向NULL，所以不会再进入while循环。经过第一次for循环，rank[1]=1。x和update[1]都为第一个节点（score=1）。
5）经过第二次for循环，i=0。x为跳跃表的第一个节点（score=1）。
6）此时i的值与zsl->level-1不相等，所以rank[0]等于rank[1]的值，值为1。
7）x->level[0]->forward存在，并且x->level[0].foreard->score==21小于要插入的score，所以可以进入while循环，rank[0]=2。x为第二个节点（score=21）。
8）x->level[0]->forward存在，并且x->level[0].foreard->score==41大于要插入的score，所以不会再进入while，经过第二次for循环，rank[0]=2。x和update[0]都为第二个节点（score=21）。
update和rank赋值后的跳跃表如图3-5所示。
2.调整跳跃表高度
由上文可知，插入节点的高度是随机的，假设要插入节点的高度为3，大于跳跃表的高度2，所以我们需要调整跳跃表的高度。代码如下。
level = zslRandomLevel();
for (i = zsl->level; i < level; i++) {
rank[i] = 0;
update[i] = zsl->header;
update[i]->level[i].span = zsl->length;}
zsl->level = level;
此时，i的值为2，level的值为3，所以只能进入一次for循环。由于header的第0层到第1层的forward都已经指向了相应的节点，而新添加的节点的高度大于跳跃表的原高度，所以第2层只需要更新header节点即可。前面我们介绍过，rank是用来更新span的变量，其值是头节点到update[i]所经过的节点数，而此次修改的是头节点，所以rank[2]为0，update[2]一定为头节点。update[2]->level[2].span的值先赋值为跳跃表的总长度，后续在计算新插入节点level[2]的span时会用到此值。在更新完新插入节点level[2]的span之后会对update[2]->level[2].span的值进行重新计算赋值。
调整高度后的跳跃表如图3-6所示。
3.插入节点
当update和rank都赋值且节点已创建好后，便可以插入节点了。代码如下。
x = zslCreateNode(level,score,ele);
for (i = 0; i < level; i++) {
x->level[i].forward = update[i]->level[i].forward;
update[i]->level[i].forward = x;
x->level[i].span = update[i]->level[i].span - (rank[0] - rank[i]);
update[i]->level[i].span = (rank[0] - rank[i]) + 1;}
level的值为3，所以可以执行三次for循环，插入过程如下。
（1）第一次for循环
1）x的level[0]的forward为update[0]的level[0]的forward节点，即x->level[0].forward为score=41的节点。
2）update[0]的level[0]的下一个节点为新插入的节点。
3）rank[0]-rank[0]＝0，update[0]->level[0].span=1，所以x->level[0].span=1。
4）update[0]->level[0].span=0+1=1。
插入节点并更新第0层后的跳跃表如图3-7所示。
（2）第2次for循环
1）x的level[1]的forward为update[1]的level[1]的forward节点，即x->level[1].forward为NULL。
2）update[1]的level[1]的下一个节点为新插入的节点。
3）rank[0]-rank[1]=1，update[1]->level[1].span=2，所以x->level[1].span=1。
4）update[1]->level[1].span=1+1=2。
插入节点并更新第1层后的跳跃表如图3-8所示。
（3）第3次for循环
1）x的level[2]的forward为update[2]的level[2]的forward节点，即x->level[2].forward为NULL。
2）update[2]的level[2]的下一个节点为新插入的节点。
3）rank[0]-rank[2]=2，因为update[2]->level[2].span=3，所以x->level[2].span=1。
4）update[2]->level[2].span=2+1=3。
插入节点并更新第2层后的跳跃表如图3-9所示。
新插入节点的高度大于原跳跃表高度，所以下面代码不会运行。但如果新插入节点的高度小于原跳跃表高度，则从level到zsl->level-1层的update[i]节点forward不会指向新插入的节点，所以不用更新update[i]的forward指针，只将这些level层的span加1即可。代码如下。
for (i = level; i < zsl->level; i++) {
update[i]->level[i].span++;}
4.调整backward
根据update的赋值过程，新插入节点的前一个节点一定是update[0]，由于每个节点的后退指针只有一个，与此节点的层数无关，所以当插入节点不是最后一个节点时，需要更新被插入节点的backward指向update[0]。如果新插入节点是最后一个节点，则需要更新跳跃表的尾节点为新插入节点。插入节点后，更新跳跃表的长度加1。代码如下。
x->backward = (update[0] == zsl->header) ? NULL : update[0];
if (x->level[0].forward)
x->level[0].forward->backward = x;else
zsl->tail = x;zsl->length++;
return x;
插入新节点后的跳跃表如图3-10所示。
3.3.3 删除节点
删除节点的步骤：1）查找需要更新的节点；2）设置span和forward。
图3-10中的跳跃表的长度为3，高度为3，此时删除score=31的节点，将此节点记录为x。
1.查找需要更新的节点
查找需要更新的节点要借助update数组，数组的赋值方式与3.3.2中update的赋值方式相同，不再赘述。查找完毕之后，update[2]=header，update[1]为score=1的节点，update[0]为score=21的节点。删除节点前的跳跃表如图3-11所示。
2.设置span和forward
删除节点需要设置update数组中每个节点的span和forward。
假设x的第i层的span值为a，update[i]第i层的span值为b，由于删除了一个节点，所以a+b-1的值就是update[i]第i层的span新值。update[i]的第i的新forward就是x节点第i层的forward，这个类似链表删除元素的操作。
如果update[i]第i层的forward不为x，说明update[i]的层高大于x的层高，即update[i]第i层指向了指向了x的后续节点或指向NULL。由于删除了一个节点，所以update[i]的leve[i]的span需要减1。
如果update[i]的forward不为x，在要删除的节点的高度小于跳跃表高度的情况下出现，i大于x高度的节点的forward与x无关，所以这些节点只需更新其span减1即可。
设置span和forward的代码如下。
void zslDeleteNode(zskiplist zsl, zskiplistNode x, zskiplistNode **update) {
int i;
for (i = 0; i < zsl->level; i++) {
if (update[i]->level[i].forward == x) {
update[i]->level[i].span += x->level[i].span - 1;
update[i]->level[i].forward = x->level[i].forward;
} else {
update[i]->level[i].span -= 1;
}
}}
设置span和forward后的跳跃表如图3-12所示。
update节点更新完毕之后，需要更新backward指针、跳跃表高度和长度。如果x不为最后一个节点，直接将第0层后一个节点的backward赋值为x的backward即可；否则，将跳跃表的尾指针指向x的backward节点即可。代码如下。
if (x->level[0].forward) {
x->level[0].forward->backward = x->backward;else {
zsl->tail = x->backward;}
while(zsl->level > 1 && zsl->header->level[zsl->level-1].forward == NULL)
zsl->level--;zsl->length--;
当删除的x节点是跳跃表的最高节点，并且没有其他节点与x节点的高度相同时，需要将跳跃表的高度减1。
由于删除了一个节点，跳跃表的长度需要减1。
删除节点后的跳跃表如图3-13所示。
3.3.4 删除跳跃表
获取到跳跃表对象之后，从头节点的第0层开始，通过forward指针逐步向后遍历，每遇到一个节点便将释放其内存。当所有节点的内存都被释放之后，释放跳跃表对象，即完成了跳跃表的删除操作。代码如下。
void zslFree(zskiplist *zsl) {
zskiplistNode *node = zsl->header->level[0].forward, *next;
zfree(zsl->header);
while(node) {
next = node->level[0].forward;
zslFreeNode(node);
node = next;
}
zfree(zsl);}
3.4 跳跃表的应用
在Redis中，跳跃表主要应用于有序集合的底层实现（有序集合的另一种实现方式为压缩列表）。
Redis的配置文件中关于有序集合底层实现的两个配置。
1）zset-max-ziplist-entries 128：zset采用压缩列表时，元素个数最大值。默认值为128。
2）zset-max-ziplist-value 64：zset采用压缩列表时，每个元素的字符串长度最大值。默认值为64。
zset添加元素的主要逻辑位于t_zset.c的zaddGenericCommand函数中。zset插入第一个元素时，会判断下面两种条件：
□zset-max-ziplist-entries的值是否等于0；
□zset-max-ziplist-value小于要插入元素的字符串长度。
满足任一条件Redis就会采用跳跃表作为底层实现，否则采用压缩列表作为底层实现方式。
if (server.zset_max_ziplist_entries == 0 ||
server.zset_max_ziplist_value < sdslen(c->argv[scoreidx+1]->ptr)){
zobj = createZsetObject();//创建跳跃表结构} else {
zobj = createZsetZiplistObject();//创建压缩列表结构}
一般情况下，不会将zset-max-ziplist-entries配置成0，元素的字符串长度也不会太长，所以在创建有序集合时，默认使用压缩列表的底层实现。zset新插入元素时，会判断以下两种条件：
□zset中元素个数大于zset_max_ziplist_entries；
□插入元素的字符串长度大于zset_max_ziplist_value。
当满足任一条件时，Redis便会将zset的底层实现由压缩列表转为跳跃表。代码如下。
if (zzlLength(zobj->ptr) > server.zset_max_ziplist_entries)
zsetConvert(zobj,OBJ_ENCODING_SKIPLIST);if (sdslen(ele) > server.zset_max_ziplist_value)
zsetConvert(zobj,OBJ_ENCODING_SKIPLIST);值得注意的是，zset在转为跳跃表之后，即使元素被逐渐删除，也不会重新转为压缩列表。
3.5 本章小结
本章介绍了跳跃表的基本原理和实现过程。跳跃表的原理简单，其查询、插入、删除的平均复杂度都为O(logN)。跳跃表主要应用于有序集合的底层实现。
