线性回归可以说是机器学习中最基本的问题类型了，这里就对线性回归的原理和算法做一个小结。
一、线性回归的模型函数和损失函数
线性回归遇到的问题一般是这样的。我们有m个样本，每个样本对应于n维特征和一个结果输出，如下：
我们的问题是，对于一个新的
，
他所对应的yx是多少呢？ 如果这个问题里面的y是连续的，则是一个回归问题，否则是一个分类问题。
对于n维特征的样本数据，如果我们决定使用线性回归，那么对应的模型是这样的：
其中 为模型参数, 为每个样本的n个特征值。 这个表示可以简化，我们增加一个特征 ，这样
进一步用矩阵形式表达更加简洁如下：
其中， 假设函数 为 的向量, θ为 的向量, 里面有n个代数法的模型参数。 X为 维的矩阵，m代表样本的个数，n代表样本的特征数。
得到了模型，我们需要求出需要的损失函数，一般线性回归我们用均方误差作为损失函数。损失函数的代数法表示如下：
进一步用矩阵形式表达损失函数：
由于矩阵法表达比较的简洁，后面我们将统一采用矩阵方式表达模型函数和损失函数。
二、线性回归的算法
对于线性回归的损失函数
我们常用的有两种方法来求损失函数最小化时候的θ参数：
一种是梯度下降法，一种是最小二乘法。
由于已经在其它篇中单独介绍了梯度下降法和最小二乘法，可以点蓝字到对应的文章链接去阅读。
如果采用梯度下降法，则θ的迭代公式是这样的：
通过若干次迭代后，我们可以得到最终的θ的结果
如果采用最小二乘法，则θ的结果公式如下：
当然线性回归，还有其他的常用算法，比如牛顿法和拟牛顿法，这里不详细描述。
三、线性回归的推广：多项式回归
回到我们开始的线性模型，
，
如果这里不仅仅是x的一次方，比如增加二次方，那么模型就变成了多项式回归。
这里写一个只有两个特征的p次方多项式回归的模型：
我们令，这样我们就得到了下式：
可以发现，我们又重新回到了线性回归，这是一个五元线性回归，可以用线性回归的方法来完成算法。
对于每个二元样本特征,我们得到一个五元样本特征，通过这个改进的五元样本特征，我们重新把不是线性回归的函数变回线性回归。
四、线性回归的推广：广义线性回归
在上一节的线性回归的推广中，我们对样本特征端做了推广，这里我们对于特征y做推广。比如我们的输出Y不满足和X的线性关系，但是lnY
和X满足线性关系，模型函数如下：
这样对与每个样本的输入y，我们用去lny
对应， 从而仍然可以用线性回归的算法去处理这个问题。我们把lny
一般化，假设这个函数是单调可微函数,则一般化的广义线性回归形式是：
这个函数我们通常称为联系函数。
五、线性回归的正则化
为了防止模型的过拟合，我们在建立线性模型的时候经常需要加入正则化项。一般有L1正则化和L2正则化。
线性回归的L1正则化通常称为Lasso回归，它和一般线性回归的区别是在损失函数上增加了一个L1正则化的项，L1正则化的项有一个常数系数α来调节损失函数的均方差项和正则化项的权重，具体Lasso回归的损失函数表达式如下：
其中，n为样本个数，α为常数系数，需要进行调优。为L1范数。
Lasso回归可以使得一些特征的系数变小，甚至还是一些绝对值较小的系数直接变为0。增强模型的泛化能力。
Lasso回归的求解办法一般有坐标轴下降法(coordinate descent)和最小角回归法(Least Angle Regression)。
线性回归的L2正则化通常称为Ridge回归，它和一般线性回归的区别是在损失函数上增加了一个L2正则化的项，和Lasso回归的区别是Ridge回归的正则化项是L2范数，而Lasso回归的正则化项是L1范数。具体Ridge回归的损失函数表达式如下：
其中α为常数系数，需要进行调优。为L2范数。
Ridge回归在不抛弃任何一个特征的情况下，缩小了回归系数，使得模型相对而言比较的稳定，但和Lasso回归比，这会使得模型的特征留的特别多，模型解释性差。
Ridge回归的求解比较简单，一般用最小二乘法。这里给出用最小二乘法的矩阵推导形式，和普通线性回归类似。
令的导数为0，得到下式：
整理即可得到最后的θ的结果：
其中E为单位矩阵。
除了上面这两种常见的线性回归正则化，还有一些其他的线性回归正则化算法，区别主要就在于正则化项的不同，和损失函数的优化方式不同，这里就不累述了。
