动态规划之最长公共子序列求解

关于最长公共子序列（LCS）

最长公共子序列和最长公共子串是有区别的，之前我一直把它们混淆。

1. 最长公共子串举例：假设S1={A,D,C,B,E,X,Q}，S2={H,P,D,C,B,E,M,L}
   那么它们的最长公共子串就是{D,C,B,E}。这是我通常理解的东西。

最长公共子序列。

1. 最长公共子序列举例：假设S1={A,B,C,A,D,A,B}，S2={B,A,C,D,B,A}，那么它们的LCS就是{B,A,D,B}。

求解最长公共子序列

这是一个动态规划问题。如何求解最长公共子序列（以下用LCS代替）呢？我们假设已经知道Z={z1,z2,...zk}是X={x1,x2,...,xm}和Y={y1,y2,...,yn}的LCS，那么可以分以下三种情况讨论（具体每种情况证明不再累述）：

1. xm=yn=zk：那么Zk-1是Xm-1和Yn-1的LCS。
2. xm≠yn，yn≠zk：我们可以把yn去掉，那么Zk是Xm和Yn-1的LCS。
3. xm≠yn，xm≠zk：我们可以把xm去掉，那么Zk是Xm-1和Yn的LCS。

基于以上情况，我们可以得到LCS递归式。我们假设ci表示Xi和Yi的LCS长度，那么：

• ci=0(i=0或j=0)；
• ci=c[i-1]c[j-1]+1(i,j>0且xi=yi）；
• ci=max{ci-1,c[i],[j-1]}；（i,j>0且xi≠yi）。

这样我们就可以得到LCS的长度。如何得到具体内容是什么呢？我们可以借用一个辅助数组bi，这个数组用来记录ci的来源，分别有如下情况：

• ci=ci-1+1，则bi=1；
• ci=ci，则bi=2；
• ci=ci-1，则bi=3。

这样就可以根据bm反向追踪LCS，当bi=1，输出xi；当bi=2，追踪ci；当bi=3，追踪ci-1，直到i=0或j=0停止。

算法设计

（1）初始化。初始化c[][]第1行和第1列为0。
（2）开始操作。具体是将s1[i]分别与s2[j-1]（j=1,2,...,len2）进行比较，若字符相等ci=左上角数值+1，且bi=1；若不相等，则ci等于左侧或者上侧重最大的一个数值，若左侧和上侧相等，则取左侧，且bi=2或3（当取左侧为2，取上侧为3）。最后的c[][]和b[][]如下所示：
下表是c[][]：

下表是b[][]：

根据c[][]可以得出，LCS的长度为4（也就是c[][]最后一个值）。然后开始判断内容是什么，这是要根据b[][]来。
首先，b7=2，向左找b7=1，所以向左上角找b6，得到字母为s1[6]=[B]；
b6=3，向上找b5=1，向左上角找b4，得到字母s1[4]=[D]；
b4=2，向左找b4[1]，得到字母s1[3]=[A]；
b3=3，向上找b2=1，向左上角找b1，得到字母s1[1]=[B].
由于b1=0，所以算法停止，返回结果为“BADB”。

代码演示

void LCSL()
{
    int i, j;
    for(i=1;i<len1;i++)
        for (j = 1; j < len2; j++)
        {
            if (s1[i - 1] == s2[j - 1])
            {
                c[i][j] = c[i - 1][j - 1] + 1;
                b[i][j] = 1;
            }
            else
            {
                if (c[i][j - 1] >= c[i - 1][j])
                {
                    c[i][j] = c[i][j - 1];
                    b[i][j] = 2;
                }
                else
                {
                    c[i][j] = c[i - 1][j];
                    b[i][j] = 3;
                }
            }
        }
}

void print(int i, int j)
{
    if (i == 0 || j == 0)
        return;
    if (b[i][j] == 1)
    {
        print(i - 1, j - 1);
        cout << s1[i - 1];
    }
    else if (b[i][j] == 2)
        print(i, j - 1);
    else
        print(i - 1, j);
}