数据结构（九）：广度优先与深度优先-阿里云开发者社区

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广度优先搜索(breadth-first search)和深度优先搜索(depth-first search)是两种探索图/树中顶点的思路。这两种搜索方式可以用来查找图中某个指定的顶点，也可以用来对图中顶点进行遍历。

广度优先方式

广度优先遍历图的方式为，一次性访问当前顶点的所有未访问状态相邻顶点，并依次对每个相邻顶点执行同样处理。因为要依次对每个相邻顶点执行同样的广度优先访问操作，所以需要借助队列结构来存储当前顶点的相邻顶点。

广度优先遍历图的方式，是以一种类似波纹扩散的方式进行的，不断放大辐射半径，进而覆盖整张图。

实现方式

选择起始顶点放入队列，并标记为已访问；
当队列不为空时，从队列中取出顶点作为目标顶点，将目标顶点的所有相邻且未被访问过的顶点放入队列，并标记为已访问；
重复执行步骤 2。

根据实现方式可知，广度优先遍历的形式为，选择目标顶点后，依次访问目标顶点的所有相邻顶点，再依次对每个相邻顶点，依次访问其相邻顶点，如此重复对顶点执行向外扩散的访问操作，直至图中所有顶点皆被访问，即存储顶点的队列为空，表示已经没有未被访问的顶点加入队列。

示例演示

对于有向图 digraph，图的顶点集合和边集合如下：

$V = \{1,2,3,4,5\}$
$E =\{<1,2>,<1,3>,<1,4>,<2,3>,<3,1>,<3,5>,<4,3>\}$

digraph

step 1:

选择 3 作为起始顶点，此时：
队列元素：3
已访问元素：3

step 2:

顶点 3 出队，将顶点 3 周围未被访问的顶点入队：
队列元素：1,5
已访问元素：3,1,5

cycle 1:

顶点 5 出队，将顶点 5 周围未被访问的顶点入队：
队列元素：1
已访问元素：3,1,5

cycle 2:

顶点 1 出队，将顶点 1 周围未被访问的顶点入队：
队列元素：2,4
已访问元素：3,1,5,2,4

cycle 3:

顶点 4 出队，将顶点 4 周围未被访问的顶点入队：
队列元素：2
已访问元素：3,1,5,2,4

cycle 4:

顶点 2 出队，将顶点 2 周围未被访问的顶点入队：
队列元素：
已访问元素：3,1,5,2,4

参考代码

def bfs(index, graph):
    queue, flag = Queue(), [False] * graph.number
    queue.put(index)  # save the node index
    flag[index - 1] = True  # indicates whether the node has been visited
    while not queue.empty():
        node = graph.list[queue.get() - 1]
        while node:
            if not flag[node.index - 1]:
                queue.put(node.index)
                flag[node.index - 1] = True
            node = node.next

程序中存在两层循环，第一层循环为判断存储顶点的队列是否为空，因为要对队列中的每个顶点执行访问其相邻顶点操作，所以若队列不为空，则表示还有顶点的相邻顶点未进行访问。第二层循环为判断相邻顶点状态，并执行入队操作。

性能分析

根据参考代码和演示示例可知，对于图中每个顶点的操作类型有如下几种，入队、出队、设置已访问状态以及扫描顶点邻接表。因为对于每个顶点以上操作只发生一次，所以入队、出队和已访问状态设置，时间复杂度为 $O(|V|)$ ，根据邻接表的介绍可知， $|V|$ 个顶点的邻接表，存储的总顶点个数为 $|E|$ 或 $2|E|$ ，所以广度优先遍历的时间复杂度为 $O(|V|+|E|)$ 。bfs 算法过程中，需要申请 $O(|V|)$ 的数组记录顶点的访问状态，需要申请 $O(|V|)$ 的队列空间存储顶点，且根据邻接表的内容可知，使用邻接表作为存储结构的空间复杂度为 $O(|V|+|E|)$ ，所以广度优先遍历的空间复杂度为 $O(|V|+|E|)$ 。

深度优先方式

深度优先遍历图的方式，同样会访问一个顶点的所有相邻顶点，不过深度优先的方式为，首先访问一个相邻顶点，并继续访问该相邻顶点的一个相邻顶点，重复执行直到当前正在被访问的顶点出度为零，或者不存在未访问状态的相邻顶点，则回退到上一个顶点继续按照该深度优先方式访问。因为存在回溯行为，所以需要借助栈结构保存顶点，或者直接利用递归调用产生的方法栈帧来完成回溯。

相对于广度优先访问，深度优先的方式更像是一条路走到黑，走不下去了再回到上个路口选择另外一条路。

实现方式

选择起始顶点入栈，并标记为已访问；
当栈不为空时，选择栈顶元素作为目标顶点，若目标顶点存在未访问状态的相邻顶点，则将该相邻顶点入栈，并标记为已访问；若不存在未访问状态的相邻顶点，则执行出栈操作；
重复执行步骤 2。

示例演示

对于有向图 digraph，图的顶点集合和边集合如下：

$V = \{1,2,3,4,5\}$
$E =\{<1,2>,<1,3>,<1,4>,<2,3>,<3,1>,<3,5>,<4,3>\}$

digraph

step 1:

选择 3 作为起始顶点，此时：
栈元素：3
已访问元素：3

step 2:

顶点 3 作为目标顶点，将顶点 3 相邻未访问状态的顶点入栈：
栈元素：3,5
已访问元素：3,5

cycle 1:

顶点 5 作为目标顶点，因为不存在相邻未访问状态的顶点，所以执行出栈操作：
栈元素：3
已访问元素：3,5

cycle 2:

顶点 3 作为目标顶点，将顶点 3 相邻未访问状态的顶点入栈：
栈元素：3,1
已访问元素：3,5,1

cycle 3:

顶点 1 作为目标顶点，将顶点 1 相邻未访问状态的顶点入栈：
栈元素：3,1,4
已访问元素：3,5,1,4

cycle 4:

顶点 4 作为目标顶点，因为不存在相邻未访问状态的顶点，所以执行出栈操作：
栈元素：3,1
已访问元素：3,5,1,4

cycle 5:

顶点 1 作为目标顶点，将顶点 1 相邻未访问状态的顶点入栈：
栈元素：3,1,2
已访问元素：3,5,1,4,2

cycle 6:

顶点 2 作为目标顶点，因为不存在相邻未访问状态的顶点，所以执行出栈操作：
栈元素：3,1
已访问元素：3,5,1,4,2

cycle 7:

顶点 1 作为目标顶点，因为不存在相邻未访问状态的顶点，所以执行出栈操作：
栈元素：3
已访问元素：3,5,1,4,2

cycle 8:

顶点 3 作为目标顶点，因为不存在相邻未访问状态的顶点，所以执行出栈操作：
栈元素：
已访问元素：3,5,1,4,2

参考代码

def dfs(index, graph):
    stack, flag = [], [False] * graph.number
    stack.append(index)  # save the node index
    flag[index - 1] = True  # indicates whether the node has been visited
    while len(stack) > 0:
        node, size = graph.list[stack[-1] - 1], len(stack)
        while node:
            if not flag[node.index - 1]:
                stack.append(node.index)
                flag[node.index - 1] = True
                break
            node = node.next
        if size == len(stack):  # means no node append
            stack.pop()

程序中存在两层循环，第一层循环为判断栈是否为空，因为深度优先的遍历方式存在回溯的行为，所以借助栈结构来完成回溯操作。当栈为空时，表示已经回溯到起始顶点，且没有未访问状态的相邻顶点入栈，即图中所有顶点皆被访问过。第二层循环为对目标顶点的相邻顶点进行扫描，若存在未访问的相邻顶点，则将该相邻顶点入栈，并标记为已访问；若不存在，则执行出栈操作。

这里提供另外一种实现方式，通过函数递归调用形成的方法栈帧完成回溯操作：

def dfs(index, graph, flag):
    node, flag[index - 1] = graph.list[index - 1], True
    while node:
        if not flag[node.index - 1]:
            dfs(node.index, graph, flag)
        node = node.next

性能分析

根据参考代码和演示示例可知，对于图中每个顶点的操作类型有如下几种，入栈、出栈、设置已访问状态以及扫描顶点邻接表。对于入栈、出栈以及设置访问状态操作，每个顶点只会执行一次。根据程序中第二层循环的实现可知，对每个顶点的相邻顶点扫描只会全扫描一次，扫描结束即发生回溯。所以深度优先遍历的时间复杂度为 $O(|V|+|E|)$ 。dfs 算法过程中，需要申请 $O(|V|)$ 的数组记录顶点的访问状态，需要申请 $O(|V|)$ 的栈空间存储顶点，且根据邻接表的内容可知，使用邻接表作为存储结构的空间复杂度为 $O(|V|+|E|)$ ，所以深度优先遍历的空间复杂度为 $O(|V|+|E|)$ 。