1. Mini-batch梯度下降法
介绍
假设我们的数据量非常多，达到了500万以上，那么此时如果按照传统的梯度下降算法，那么训练模型所花费的时间将非常巨大，所以我们对数据做如下处理：
如图所示，我们以1000为单位，将数据进行划分，令\(x^{\{1\}}=\{x^{(1)},x^{(2)}……x^{(5000)}\}\), 一般地用\(x^{\{t\}},y^{\{t\}}\)来表示划分后的mini-batch。
注意区分该系列教学视频的符号标记：
小括号() 表示具体的某一个元素，指一个具体的值，例如\(x^{(i)}\)
中括号[] 表示神经网络中的某一层,例如\(Z^{[l]}\)
大括号{} 表示将数据细分后的一个集合,例如\(x^{\{1\}}=\{x^{(1)},x^{(2)}……x^{(5000)}\}\)
算法步骤
假设我们有5,000,000个数据，每1000作为一个集合，计入上面所提到的\(x^{\{1\}}=\{x^{(1)},x^{(2)}……x^{(5000)}\},……\)
- 1)所以需要迭代运行5000次神经网络运算。
for i in range(5000):2)每一次迭代其实与之前笔记中所提到的计算过程一样，首先是前向传播，但是每次计算的数量是1000
- 3)计算损失函数，如果有正则化，则记得加上正则项
4)反向传播
注意，mini-batch相比于之前一次性计算所有数据不仅速度快，而且反向传播需要计算5000次，所以效果也更好。
2. 理解mini-batch梯度下降法
如上面所提到的，我们以1000位单位对数据进行划分，但是这只是为了更方便说明问题才这样划分的，那么我们在实际操作中应该如何划分呢？
首先考虑两个极端情况：
mini-batch size = m
此时即为Batch gradient descent，\((x^{\{t\}},y^{\{t\}})=(X,Y)\)mini-batch size = 1
此时即为Stochastic gradient descent, \((x^{\{t\}},y^{\{t\}})=(x^{(i)},y^{(i)})\)
如图示，蓝色收敛曲线表示mini-batch size=m，比较耗时，但是最后能够收敛到最小值；而紫色收敛曲线表示mini-batch size=1，虽然速度可能较快，但是收敛曲线十分曲折，并且最终不会收敛到最小点，而是在其附近来回波动。
说了这么多，那么mini-batch size该如何选择呢？以下是选择的原则：
- 如果数据量比较小（m<2000），可以使用batch gradient descent。一般来说mini-batch size取2的次方比较好，例如64,128,256,512等，因为这样与计算机内存设置相似，运算起来会更快一些。
3. 指数加权平均
为了理解后面会提到的各种优化算法，我们需要用到指数加权平均，在统计学中也叫做指数加权移动平均(Exponentially Weighted Moving Averages)。
首先我们假设有一年的温度数据，如下图所示
我们现在需要计算出一个温度趋势曲线，计算方法如下：
\(V_0=0\)
\(V_1=β*V_0+(1-β)θ_1\)
\(……\)
\(V_t=β*V_{t-1}+(1-β)θ_t\)
上面的\(θ_t\)表示第t天的温度，β是可调节的参数，\(V_t\)表示\(\frac{1}{1-β}\)天的每日温度。
- 当\(β=0.9\)时,表示平均了过去十天的温度，且温度趋势曲线如图中红线所示
- 当\(β=0.98\)时,表示平均了过去50天的温度，温度趋势曲线如图中绿线所示。此时绿线相比较红线要平滑一些，是因为对过去温度的权重更大，所以当天天气温度的影响降低，在温度变化时，适应得更缓慢一些。
- 当\(β=0.5\)时,温度趋势曲线如图中黄线所示
4. 理解指数加权平均
我们将上面的公式\(V_t=β*V_{t-1}+(1-β)θ_t\)展开可以得到
(假设β=0.9)
\[V_t=0.1θ_t+0.1*0.9θ_{t-1}+0.1*0.9^2θ_{t-2}+…\]
可以看到在计算第t天的加权温度时，也将之前的温度考虑进来，但是都有一个衰减因子β，并且随着天数的增加，衰减幅度也不断增加。（有点类似于卷积计算）
5. 指数加权平均的偏差修正
为什么需要修正呢？我们仔细分析一下就知道了
首先我们假设的是\(β=0.98, V_0=0\),然后由\(V_t=βV_{t-1}+(1-β)θ_t\)可知
\(V_1=0.98V_0+0.02θ_1=0.02θ_1\)
\(V_2=0.98V_1+0.02θ_2=0.0196θ_1+0.02θ_2\)
假设\(θ_1=40℃\),那么\(V_1=0.02*40=0.8℃\)，这显然相差太大，同理对于后面的温度的计算也只会是变差越来越大。所以我们需要进行偏差修正，具体方法如下：
\[V_t=\frac{βV_{t-1}+(1-β)θ_t}{1-β^t}\]
注意！！！上面公式中的 \(V_{t-1}\)是未修正的值。
为方便说明，令\(β=0.98,θ_1=40℃,θ_2=39℃\),则
当\(t=1,θ_1=40℃\)时，\(V_1=\frac{0.02*40}{1-0.98}=40\),哇哦~有没有很巧的感觉，再看
当\(t=2,θ_2=39℃\)时，\(V_2=\frac{0.98*V_{t-1}+0.02*θ_2}{1-0.98^2}=\frac{0.98*(0.02*θ_1)+0.02*39}{1-0.98^2}=39.49\)
所以，记住你如果直接用修正后的\(V_{t-1}\)值代入计算就大错特错了
6. 动量梯度下降法
首先介绍一下一般的梯度算法收敛情况是这样的
可以看到，在前进的道路上十分曲折，走了不少弯路，在纵向我们希望走得慢一点，横向则希望走得快一点，所以才有了动量梯度下降算法。
Momentum算法的第t次迭代：
- 计算出dw,db
- 这个计算式子与上一届提到的指数加权平均有点类似，即
\(V_{dw}=βV_{dw}+(1-β)dw\)
\(V_{db}=βV_{db}+(1-β)db\) - \(W=W-αV_{dw},b=b-αV_{db}\)
最终得到收敛的效果如下图的红色曲线所示。
该算法中涉及到的超参数有两个，分别是 \(α，β\)，其中一般\(β=0.9\)是比较常取的值。
7. RMSprop
该算法全称叫Root Mean Square Prop(均方根传播)
这一节和上一节讲的都比较概括，不是很深入，所以就直接把算法记录下来吧。
在第t次迭代：
- 计算该次mini-batch的dw,db
- \(S_{dw}=βS_{dw}+(1-β)dw^2\)
\(S_{db}=βS_{db}+(1-β)db^2\) - \(w:=w-α\frac{dw}{\sqrt{S_{dw}}}\)
\(b:=b-α\frac{db}{\sqrt{S_{db}}}\)
收敛效果(原谅色)
8. Adam优化算法
Adam其实是Momentum和RMSprop两个算法的结合，具体算法如下：
- 初始化\(V_{dw}=0,V_{db}=0，S_{dw}=0，S_{dw}=0\)
- 在第t次迭代
- 计算出dw,db
- \(V_{dw}=β_1V_{dw}+(1-β_1)dw\),\(V_{db}=β_1V_{db}+(1-β_1)db\)
\(S_{dw}=β_2S_{dw}+(1-β_2)dw^2\),\(S_{db}=β_2S_{db}+(1-β_2)db^2\) - \(V_{dw}^{corrected}=\frac{V_{dw}}{1-β_1^t}\),\(V_{db}^{corrected}=\frac{V_{db}}{1-β_1^t}\)
\(S_{dw}^{corrected}=\frac{S_{dw}}{1-β_2^t}\),\(S_{db}^{corrected}=\frac{S_{db}}{1-β_2^t}\) - \(W=W-α\frac{V_{dw}^{corrected}}{\sqrt{S_{dw}^{corrected}}+ε}\),\(b=b-α\frac{V_{db}^{corrected}}{\sqrt{S_{db}^{corrected}}+ε}\)
该算法中的超参数有\(α,β_1,β_2,ε\),一般来说\(β_1=0.9,β_2=0.999,ε=10^{-8}\)
9. 学习率衰减
之前算法中提到的学习率α都是一个常数，这样有可能会一个问题，就是刚开始收敛速度刚刚好，可是在后面收敛过程中学习率偏大，导致不能完全收敛，而是在最低点来回波动。所以为了解决这个问题，需要让学习率能够随着迭代次数的增加进行衰减，常见的计算公式有如下几种：
- Learning rate decay
\[α=\frac{1}{1+decay_rate*epoch_num}α_0\]
decay_rate:衰减率
epoch_num: 迭代次数
举个栗子：
假设\(α_0\)初始化为0.2,decay_rate=1,则α的衰减过程如下：
| Epoch | α |
|---|---|
| 1 | 0.1 |
| 2 | 0.067 |
| 3 | 0.05 |
| …… | …… |
- 其他衰减算法
- 指数衰减：\(α=0.9^{epoch_num}α_0\)
- \(α=\frac{K}{\sqrt{epoch_num}}α_0\)或\(α=\frac{k}{t}α_0\)(这个t表示mini-batch的第t组数据)
- 离散衰减，每次迭代后变为上一次迭代的一半。
10. 局部最优问题
图左中有很多局部最优点。
图右用青色标记出来的点称为鞍点(saddle point)，因为和马鞍相似，所以称为鞍点。
鞍点相比于局部最优点要更加棘手，因为从横向上看似乎是最低点，但是纵向上看却不是最低点，所以收敛过程有点缓慢，原因如下：
横向收敛只能沿着红线方向收敛，直到鞍点，而到了鞍点后才能往两边收敛，所以收敛的比较缓慢。
但是momentum和Adam等算法因为能够加速学习，所以收敛速率更快，能够更快地收敛。
