差分约束系统

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  如果一个系统由n个变量和m个约束条件组成，其中每个约束条件都形如xj-xi<=bk，(i,j∈[1,n],k∈[1,m]),则称其为差分约束系统(system of difference constraints)。亦即，差分约束系统是求解关于一组变量的特殊不等式组的方法。

  求解差分约束系统，可以转化成图论的单源最短路径（或最长路径）问题。

  比如有这样一组不等式,不等式组(1)：

X1 - X2 <= 0

X1 - X5 <= -1

X2 - X5 <= 1

X3 - X1 <= 5

X4 - X1 <= 4

X4 - X3 <= -1

X5 - X3 <= -3

X5 - X4 <= -3

  全都是两个未知数的差小于等于某个常数（大于等于也可以，因为左右乘以-1就可以化成小于等于）。这样的不等式组就称作差分约束系统。

  这个不等式组要么无解，要么就有无数组解。因为如果有一组解{X1, X2, ..., Xn}的话，那么对于任何一个常数k，{X1 + k, X2 + k, ..., Xn + k}肯定也是一组解，因为任何两个数同时加一个数之后，它们的差是不变的，那么这个差分约束系统中的所有不等式都不会被破坏。

    差分约束系统的解法利用到了单源最短路径问题中的三角形不等式。即对于任何一条边u -> v，都有：d(v) <= d(u) + w(u, v)，其中d(u)和d(v)是从源点分别到点u和点v的最短路径的权值，w(u, v)是边u -> v的权值。

  显然以上不等式就是d(v) - d(u) <= w(u, v)。这个形式正好和差分约束系统中的不等式形式相同。于是我们就可以把一个差分约束系统转化成一张图，每个未知数Xi对应图中的一个顶点Vi，把所有不等式都化成图中的一条边。对于不等式Xi - Xj <= c，就可以化成边Vj -> Vi，权值为c。最后，我们在这张图上求一次单源最短路径，这些三角形不等式就会全部都满足了，因为它是最短路径问题的基本性质嘛。

  话说回来，所谓单源最短路径，当然要有一个源点，然后再求这个源点到其他所有点的最短路径。那么源点在哪呢？我们不妨自已造一个X0=0。

  添加n个不等式Xn - X0 <= 0，于是这个差分约束系统中就多出了下列不等式，不等式组(2)：   

X1 - X0 <= 0

X2 - X0 <= 0

X3 - X0 <= 0

X4 - X0 <= 0

X5 - X0 <= 0

对于这5个不等式，也在图中建出相应的边。最后形成的图如下：

  图中的每一条边都代表差分约束系统中的一个不等式。现在以V0为源点，求单源最短路径。最终得到的V0到Vn的最短路径长度就是Xn的一个解啦。从图中可以看到，这组解是{-5, -3, 0, -1, -4}。当然把每个数都加上10也是一组解：{5, 7, 10, 9, 6}。但是这组解只满足不等式组(1)，也就是原先的差分约束系统；而不满足不等式组(2)，也就是我们后来加上去的那些不等式。当然这是无关紧要的，因为X0本来就是个局外人，是我们后来加上去的，满不满足与X0有关的不等式我们并不在乎。

  也有可能出现无解的情况，也就是从源点到某一个顶点不存在最短路径。也说是图中存在负权的圈。