看到有这么道算法题在博客园讨论，算法eaglet和邀月都已经设计出来了，花了点时间读了下，学到点东西顺便记录下来吧。
题目是从1...n的数列中，找出总和为n的连续子数列。
这里先设好算法中需要用到的关键变量：
- s：目标子数列的第一个元素
- k：目标子数列的长度
那么目标子数列可以表示为(s, k)
1. naive算法(n^2)
最笨的，但是最容易的想到的方法，就是穷举所有的子数列：
for k = 1 to n-s+1
if sum(s, k) == n
复杂度为：n + (n-1) + (n-2) + (n-3).... = n(n-1)/2
所以，其复杂度是O(n^2)
2. 用二分法改进的naive算法 (nlog2n)
我们需要充分利用输入的特性，这里，原始数列的一个很明显的特点就是有序，而利用有序数列提高效率的最常用方法就是二分法。这里我们可以注意到，针对某个子数列起始点s，我们没有必要逐个长度的去求和判断，而是利用其有序的性质，先求(s, (n+s)/2)的和。如果等于n则输出，如果大于n，则数列结尾在前半段，否则在后半段：
low = s
high = n
while low < high
mid = (low + high)/2
sum = sum(s, mid)
if sum == n
output(s, mid)
else if(sum > n)
high = mid
else
low = mid
很明显，此算法复杂度为O(nlog2n)
3. 利用规律s*k <= n而设计的算法 (nlnn)
我们知道，s是目标子数列的第一个元素，也是最小的元素，所以必然有sum(s,k) >= s*k， 也就是n>=s*k, 也就是k <= n/s，于是算法可以写成：
for k = 1 to n/s
if sum(s, k) == n
output(s, k);
此处，其复杂度并不是显而易见，但稍加分析：
复杂度 = n + n/2 + n/3 + n/4 + ... + n/n = n (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + .. + 1/n)，可以注意到，括号中的部分是一个调和级数，其和为lnn。
于是，此算法的复杂度为 O(nlnn)，比算法2稍佳，因为lnn的底数要稍大些。
4. 利用规律s*k = n-k(k-1)/2而设计的算法(sqrt(n))
我们知道，对于子数列求和，其公式为：
n = k(s+ (s+k-1))/2 = s*k + k(k-1)/2
得出：
s*k = n - k(k-1)/2
由这个公式我们可以得到两点信息：
- 1*k <= s*k = n-k(k-1)/2，推出n-k(k-1)/2 >= k
- 如果n-k(k-1)/2能够整除k，则k是目标子数列的长度，而起始点可以由公式算出：s = (n-k(k-1)/2)/k
于是，算法就可以以k为变量递增，以n-k(k-1)/2 >= k为限制条件：
v = n-k(k-1)/2
while v >= k
if v % k == 0
output(v/k, k) // 如果能整除，则找到解，并且起始点为v/k
k++
v = n-k(k-1)/2
分析复杂度，我们只需关注k的变化，k是从1递增到某个数结束，关键是如何求这个截止的k。
我们的循环结束条件是：
n-k(k-1)/2 >= k
化简得到：
k^2 + k <= 2n
k^2 <= 2n - k
因为k > 0，于是有
k^2 < 2n
k < sqrt(2n)
所以，这个截止的k就应该是sqrt(2n)或者略小于它
到这里，就不难看出其算法复杂度为O(sqrt(n)) - 略去常数因子和低阶函数
