1. 多元线性回归定义
在回归分析中，如果有两个或两个以上的自变量，就称为多元回归。事实上，一种现象常常是与多个因素相联系的，由多个自变量的最优组合共同来预测或估计因变量，比只用一个自变量进行预测或估计更有效，更符合实际。因此多元线性回归比一元线性回归的实用意义更大。
我们现在介绍方程的符号，我们可以有任意数量的输入变量。
这些多个特征的假设函数的多变量形式如下：
hθ(x)=θ0+θ1x1+θ2x2+θ3x3+⋯+θnxn
为了开发这个功能，我们可以想一想，θ0作为房子的基本价格，θ1每平方米的价格，θ2每层楼的价格，等X1将在房子的平方米数，x2楼层数，等等。
利用矩阵乘法的定义，我们的多变量假设函数可以简洁地表示为：
这是对一个训练例子的假设函数的矢量化。
备注：为了方便的原因，在这个过程中我们假设X(i)0 = 1（i∈1，…，m）。这允许我们做矩阵运算与θ和X使两向量的θ和X(i)互相匹配元素（即有相同数目的元素：N + 1）]。
2. 梯度下降
下面我们使用梯度下降法来解决多特征的线性回归问题。
- Hypothesis: 假设假设现有多元线性回归并约定x0=1。
- Parameters: 该模型的参数是从θ0 到θn。不要认为这是 n+1 个单独的参数。你可以把这 n+1 个 θ 参数想象成一个 n+1 维的向量 θ。所以，现在就可以把这个模型的参数 想象成其本身就是一个 n+1 维的向量。
Cost function: 我们的代价函数是从 θ0 到 θn 的函数 J，并给出了误差项平方的和。但同样地，不要把函数 J想成是一个关于 n+1 个自变量的函数，而是看成带有一个 n+1 维向量的函数。
Gradient descent(梯度下降): 我们将会不停地用 θj 减去 α 倍的导数项,来替代 θj 同样的方法。我们写出函数J(θ) 因此 θj 被更新成 θj 减去学习率 α 与对应导数的乘积 就是代价函数的对参数 θj 的偏导数。
2.1 当特征 n=1 时
我们有两条针对参数 θ0 和 θ1 不同的更新规则。①处是代价函数里部分求导的结果 ，是代价函数相对于 θ0 的偏导数。 同样，对参数 θ1 我们有另一个更新规则 仅有的一点区别是：当我们之前只有一个特征，我们称该特征为x(i)。 但现在我们在新符号里，我们会标记它为 x 上标 (i) 下标1来表示我们的特征。以上就是当我们仅有一个特征时候的算法。
2.2 当有一个以上特征时
现有数目远大于1的很多特征,梯度下降更新规则变成了这样:
有些同学可能知道微积分,代价函数 J 对参数 θj 求偏导数 （蓝线圈出部分），你将会得到多元线性回归的梯度下降算法。
新旧两种算法实际上是两个是类似的算法。为什么它们都是梯度下降算法？考虑这样一个情况：有两个或以上个数的特征，同时我们对θ1、θ2、θ3的三条更新规则，当然可能还有其它参数。如果你观察θ0的更新规则，你会发现这跟之前 n=1的情况相同。它们之所以是等价的这是因为在我们的标记约定里有 x(i)0=1，），也就红线圈起部分的两项是等价的。
同样地，如果你观察θ1的更新规则你会发现这里的这一项是和之前对参数θ1的更新项是等价的。在这里我们只是用了新的符号x(i)1来表示我们的第一个特征。现在我们有个更多的特征，那么就可以用与之前相同的更新规则，我们可以用同样的规则来处理 θ2 等其它参数。
3. Feature Scaling（特征缩放）
如果你有一个机器学习问题，这个问题有多个特征，如果你能确保这些特征都处在一个相近的范围，确保不同特征的取值在相近的范围内，这样梯度下降法就能更快地收敛。
3.1 介绍
假如你有一个具有两个特征的问题：其中，x1是房屋面积大小，它的取值在0到2000之间。x2是卧室的数量，可能这个值取值范围在1到5之间。 如果你画出代价函数J(θ)的轮廓图，那么这个轮廓看起来应该是像下图这样的：
J(θ) 是一个关于参数 θ0 θ1 和 θ2 的函数（此处忽略 θ0 所以暂时不考虑θ0）。并假想一个函数的变量只有 θ1 和 θ2。 但如果x1的取值范围远远大于x2的取值范围的话，那么最终画出来的代价函数J(θ)的轮廓图就会呈现出这样一种非常偏斜，并且椭圆的形状 2000 和 5的比例 会让这个椭圆更加瘦长。所以，这是一个又瘦又高的 椭圆形轮廓图 就是这些非常高大细长的椭圆形构成了代价函数 J(θ) 。
而如果你用这个代价函数来运行梯度下降的话，你要得到梯度值，最终可能需要花很长一段时间并且可能会来回波动，然后会经过很长时间，最终才收敛到全局最小值。
可以想像，如果这些轮廓再被放大一些的话，如果你画的再夸张一些，把它画的更细更长，那么可能情况会更糟糕 。梯度下降的过程可能更加缓慢，需要花更长的时间，反复来回振荡，最终才找到一条正确通往全局最小值的路。
在这样的情况下一种有效的方法是进行特征缩放(feature scaling) 。
具体来说，把特征x定义为房子的面积大小，除以2000； 并且把x2定义为卧室的数量除以5。那么这样的话 表示代价函数 J(θ) 的轮廓图的形状就会变得偏移没那么严重，可能看起来更圆一些了。
如果你用这样的代价函数来执行梯度下降的话，可以从数学上来证明，梯度下降算法就会找到一条更捷径的路径通向全局最小，而不是像刚才那样沿着一条让人摸不着头脑的路径，一条复杂得多的轨迹，来找到全局最小值。
因此，通过特征缩放，通过"消耗掉"这些值的范围，在这个例子中，我们最终得到的两个特征 x1 和 x2 都在0和1之间，这样你得到的梯度下降算法就会更快地收敛。
3.2 特征范围
我们执行特征缩放时，通常的目的是将特征的取值约束到-1到+1的范围内：
你的特征x0是总是等于1，因此这已经是在这个范围内。
但对其他的特征 你可能需要通过除以不同的数 来让它们处于同一范围内。-1 和 +1这两个数字并不是太重要，所以 如果你有一个特征x1 它的取值在0和3之间，是没问题的。如果你有另外一个特征取值在-2 到 +0.5之间这也没什么关系，这也非常接近 -1 到 +1的范围，这些都可以。
但如果你有另一个特征，比如叫 x3 假如它的范围在 -100到+100之间，那么这个范围跟-1到+1就有很大不同了。所以这可能是一个不那么好的特征。类似地，如果你的特征在一个非常非常小的范围内，比如另外一个特征 x4 它的范围在 0.0001和+0.0001之间，那么这同样是一个 比-1到+1小得多的范围。因此同样会认为这个特征也不太好。
所以，可能你认可的范围也许可以大于或者小于-1到+1，但是也别太大，只要大得不多就可以接受。比如 +100 或者也别太小，比如这里的0.001。不同的人有不同的经验。但是我一般是这么考虑的，如果一个特征是在 -3 到 +3 的范围内，那么你应该认为这个范围是可以接受的。 但如果这个范围大于了-3到+3的范围，我可能就要开始注意了。如果它的取值 在-1/3 到+1/3的话，我觉得 还不错，可以接受。或者是0到1/3或-1/3到0，这些典型的范围，我都认为是可以接受的。但如果特征的范围 取得很小的话，比如像这里的0.0001你就要开始考虑进行特征缩放了。
因此，总的来说不用过于担心你的特征是否在完全 相同的范围或区间内，但是只要他们都只要它们足够接近的话，梯度下降法就会正常地工作。
3.3 Mean Normalization(均值归一化)
除了在特征缩放中将特征除以最大值以外，有时候我们也会进行一个称为均值归一化的工作(mean normalization) 。
如果你有一个特征 xi 你就用xi-μi来替换，通过这样做 让你的特征值具有为0的平均值。我们不需要把这一步应用到x0中，因为x0总是等于1的，所以它不可能有为0的的平均值。但是对其他的特征来说，比如房子的大小，取值介于0到2000，并且假设房子面积的平均值是等于1000的。那么你可以用这个公式将x1的值变为，x1减去平均值μ1再除以2000。类似地，如果你的房子有五间卧室 ，并且平均一套房子有两间卧室，那么可以使用这个公式来归一化你的第二个特征x2。
在这两种情况下，你可以算出新的特征x1和x2这样它们的范围可以在-0.5和+0.5之间，当然这肯定不对。x2的值实际上肯定会大于0.5，但很接近。更一般的规律是 你可以用这样的公式：(x1 - μ1)/S1来替换原来的特征x1。其中定义μ1的意思是： 在训练集中：
- x1：平均值
- S1：特征值的范围（最大值减去最小值 最大值减去最小值，或者学过标准差的同学可以记住 也可以把S1设为变量的标准差，但其实用最大值减最小值就可以了）
类似地，对于第二个 特征 x2 你也可以用同样的这个
特征减去平均值，再除以范围来替换原特征。范围的意思依然是最大值减最小值。这类公式将你的特征 变成这样的范围，也许不是完全这样，但大概是这样的范围。
有些同学可能比较仔细，如果我们用最大值减最小值来表示范围的话。这里的5有可能应该是4 如果最大值为5，那么减去最小值1，这个范围值就是4 。但不管咋说，这些取值都是非常近似的，只要将特征转换为相近似的范围就都是可以的。
特征缩放其实并不需要太精确，只是为了让梯度下降 能够运行得更快一点而已。
4. Learning Rate(学习效率)
这一章节我们来介绍如何选择学习率α 以及怎样确定 梯度下降正常工作。
Debugging gradient descent（调试渐变下降）：用X轴上的迭代次数绘制一个图。现在小区的成本函数，J（θ）在梯度下降迭代次数。如果J（θ）不断增加，那么你可能需要减少α。
Automatic convergence test（自动收敛测试） ：如果该声明收敛（θ）小于E在一次迭代中减少，其中E是一些小的值，如10−3。然而，在实际应用中很难选择这个阈值。
如果学习率α足够小，那么J（θ）会在每个迭代中减少。
总结：
- 如果α太小：收敛速度慢。
- 如果α太大：可能不会在每次迭代中减少，因此可能不会收敛。
本文资料部分来源于吴恩达 (Andrew Ng) 博士的斯坦福大学机器学习公开课视频教程。
[1] 网易云课堂机器学习课程：
http://open.163.com/special/opencourse/machinelearning.html
[2] coursera课程：
https://www.coursera.org/learn/machine-learning/
