上一回说了基本粒子群算法的实现，并且给出了C语言代码。这一篇主要讲解影响粒子群算法的一个重要参数---w。我们已经说过粒子群算法的核心的两个公式为：
Vid(k+1)=w*Vid(k)+c1*r1*(Pid(k)-Xid(k))+c2*r2*(Pgd(k)-Xid(k))
Xid(k+1) = Xid(k) + Vid(k+1)
标红的w即是本次我们要讨论的参数。之前w是不变的(默认取1)，而现在w是变化的，w称之为惯性权重，体现的是粒子继承先前速度的能力。 经验表明：一个较大的惯性权重有利于全局搜索，而一个较小的惯性权重则更有利于局部搜索。为了更好地平衡算法的全局搜索能力与局部搜索能力，Shi.Y提出了线性递减惯性权重(LDIW)
即：w(k) = w_end + (w_start- w_end)*(Tmax-k)/Tmax。其中w_start 为初始惯性权重，w_end 为迭代至最大次数时的惯性权重;k为当前迭代次数， Tmax为最大迭代次数。一般来说，w_start=0.9,w_end=0.4时，算法的性能最好。这样随着迭代的进行，惯性权重从0.9递减到0.4,迭代初期较大的惯性权重使算法保持了较强的全局搜索能力。而迭代后期较小的惯性权重有利于算法进行更精确的局部搜索。线性惯性权重，只是一种经验做法，常用的惯性权重还包括 以下几种。
(3) w(k) = w_start - (w_start-w_end)*(k/Tmax)^2
(4) w(k) = w_start + (w_start-w_end)*(2*k/Tmax - (k/Tmax)^2)
(5) w(k) = w_end*(w_start/w_end)^(1/(1+c*k/Tmax)) ,c为常数，比如取10等。
本例的目的就是比较这5种不同的w取值，对于PSO寻优的影响。比较的方法为每种w取值，重复实验若干次(比如100次),比较平均最优解的大小，陷入次优解的次数，以及接近最优解的次数。 这样对于5种方法的优劣可以有一个直观的比较。
代码如下：
/* * 使用C语言实现粒子群算法(PSO) 改进版本 * 参考自《MATLAB智能算法30个案例分析》 * update: 16/12/3 * 主要改进的方面体现在w的选择上面 * 本例的寻优非线性函数为 * f(x,y) = sin(sqrt(x^2+y^2))/(sqrt(x^2+y^2)) + exp((cos(2*PI*x)+cos(2*PI*y))/2) - 2.71289 * 该函数有很多局部极大值点，而极限位置为(0,0),在(0,0)附近取得极大值 */ #include<stdio.h> #include<stdlib.h> #include<math.h> #include<time.h> #define c1 1.49445 //加速度因子一般是根据大量实验所得 #define c2 1.49445 #define maxgen 300 // 迭代次数 #define repeat 100 // 重复实验次数 #define sizepop 20 // 种群规模 #define popmax 2 // 个体最大取值 #define popmin -2 // 个体最小取值 #define Vmax 0.5 // 速度最大值 #define Vmin -0.5 //速度最小值 #define dim 2 // 粒子的维数 #define w_start 0.9 #define w_end 0.4 #define PI 3.1415926 //圆周率 double pop[sizepop][dim]; // 定义种群数组 double V[sizepop][dim]; // 定义种群速度数组 double fitness[sizepop]; // 定义种群的适应度数组 double result[maxgen]; //定义存放每次迭代种群最优值的数组 double pbest[sizepop][dim]; // 个体极值的位置 double gbest[dim]; //群体极值的位置 double fitnesspbest[sizepop]; //个体极值适应度的值 double fitnessgbest; // 群体极值适应度值 double genbest[maxgen][dim]; //每一代最优值取值粒子 //适应度函数 double func(double * arr) { double x = *arr; //x 的值 double y = *(arr+1); //y的值 double fitness = sin(sqrt(x*x+y*y))/(sqrt(x*x+y*y)) + exp((cos(2*PI*x)+cos(2*PI*y))/2) - 2.71289; return fitness; } // 种群初始化 void pop_init(void) { for(int i=0;i<sizepop;i++) { for(int j=0;j<dim;j++) { pop[i][j] = (((double)rand())/RAND_MAX-0.5)*4; //-2到2之间的随机数 V[i][j] = ((double)rand())/RAND_MAX-0.5; //-0.5到0.5之间 } fitness[i] = func(pop[i]); //计算适应度函数值 } } // max()函数定义 double * max(double * fit,int size) { int index = 0; // 初始化序号 double max = *fit; // 初始化最大值为数组第一个元素 static double best_fit_index[2]; for(int i=1;i<size;i++) { if(*(fit+i) > max) max = *(fit+i); index = i; } best_fit_index[0] = index; best_fit_index[1] = max; return best_fit_index; } // 迭代寻优，传入的参数为一个整数，取值为1到5,分别代表5种不同的计算w的方法 void PSO_func(int n) { pop_init(); double * best_fit_index; // 用于存放群体极值和其位置(序号) best_fit_index = max(fitness,sizepop); //求群体极值 int index = (int)(*best_fit_index); // 群体极值位置 for(int i=0;i<dim;i++) { gbest[i] = pop[index][i]; } // 个体极值位置 for(int i=0;i<sizepop;i++) { for(int j=0;j<dim;j++) { pbest[i][j] = pop[i][j]; } } // 个体极值适应度值 for(int i=0;i<sizepop;i++) { fitnesspbest[i] = fitness[i]; } //群体极值适应度值 double bestfitness = *(best_fit_index+1); fitnessgbest = bestfitness; //迭代寻优 for(int i=0;i<maxgen;i++) { for(int j=0;j<sizepop;j++) { //速度更新及粒子更新 for(int k=0;k<dim;k++) { // 速度更新 double rand1 = (double)rand()/RAND_MAX; //0到1之间的随机数 double rand2 = (double)rand()/RAND_MAX; double w; double Tmax = (double)maxgen; switch(n) { case 1: w = 1; case 2: w = w_end + (w_start - w_end)*(Tmax-i)/Tmax; case 3: w = w_start -(w_start-w_end)*(i/Tmax)*(i/Tmax); case 4: w = w_start + (w_start-w_end)*(2*i/Tmax-(i/Tmax)*(i/Tmax)); case 5: w = w_end*(pow((w_start/w_end),(1/(1+10*i/Tmax)))); default: w = 1; } V[j][k] = w*V[j][k] + c1*rand1*(pbest[j][k]-pop[j][k]) + c2*rand2*(gbest[k]-pop[j][k]); if(V[j][k] > Vmax) V[j][k] = Vmax; if(V[j][k] < Vmin) V[j][k] = Vmin; // 粒子更新 pop[j][k] = pop[j][k] + V[j][k]; if(pop[j][k] > popmax) pop[j][k] = popmax; if(pop[j][k] < popmin) pop[j][k] = popmin; } fitness[j] = func(pop[j]); //新粒子的适应度值 } for(int j=0;j<sizepop;j++) { // 个体极值更新 if(fitness[j] > fitnesspbest[j]) { for(int k=0;k<dim;k++) { pbest[j][k] = pop[j][k]; } fitnesspbest[j] = fitness[j]; } // 群体极值更新 if(fitness[j] > fitnessgbest) { for(int k=0;k<dim;k++) gbest[k] = pop[j][k]; fitnessgbest = fitness[j]; } } for(int k=0;k<dim;k++) { genbest[i][k] = gbest[k]; // 每一代最优值取值粒子位置记录 } result[i] = fitnessgbest; // 每代的最优值记录到数组 } } // 主函数 int main(void) { clock_t start,finish; //程序开始和结束时间 start = clock(); //开始计时 srand((unsigned)time(NULL)); // 初始化随机数种子 for(int i=1;i<=5;i++) { int near_best = 0; // 接近最优解的次数 double best_sum = 0; // 重复最优值求和 double best = 0; // 重复实验得到的最优解 for(int j=0;j<repeat;j++) { PSO_func(i); // 第i种w参数取值 double * best_fit_index = max(result,maxgen); double best_result = *(best_fit_index+1); //最优解 if(best_result > 0.95) near_best++; if(best_result>best) best = best_result; best_sum += best_result; } double average_best = best_sum/repeat; //重复实验平均最优值 printf("w参数的第%d种方法:\n",i); printf("重复实验%d次，每次实验迭代%d次,接近最优解的实验次数为%d次，求得最优值为:%lf,平均最优值为:%lf\n",repeat,maxgen,near_best,best,average_best); } finish = clock(); //结束时间 double duration = (double)(finish - start)/CLOCKS_PER_SEC; // 程序运行时间 printf("程序运行耗时:%lf\n",duration); return 0; }
程序运行结果如下：
从实验的结果来看，第3种w的取法，无论是接近最优解的的次数，最优值大小，还是平均最优值，都是5种里面最好的。其原因解释如下：通过w的表达式可以看出，前期w变化较慢，取值较大，维持了算法的全局搜索能力；后期w变化变化较快，极大地提高了算法的局部搜索能力寻优能力，从而取得了很好的求解效果。
从总体上来看，在大部分的情况下，无论w是5种里面哪种取法，得到的结果都很好地接近实际的最优解，这说明了粒子群算法的搜索寻优能力还是很强的。
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