利用Sympy计算sin1°的最小多项式

　　首先我们有$\cos36^{\circ}=\frac{\sqrt{5}+1}{4}$,可以利用顶角为$36^{\circ}$ 的等腰三角形求出，它满足方程$4x^{2}-2x-1=0$.
　　利用二倍角公式$\cos2x=2\cos^{2}x-1$ 迭代两次，求出$\cos9^{\circ}$ 满足的多项式，可以发现它是一个关于$\cos^{2}9^{\circ}$ 的多项式，因此我们可以求出$\sin^{2}9^{\circ}$ 满足的多项式。
　　接着，我们利用三倍角公式$\sin3x=3sinx-4\sin^{3}x$ 迭代两次即可求出$\sin1^{\circ}$ 满足的多项式，在此基础上因此分解，并代入求值即可得到$\sin1^{\circ}$ 的最小多项式。
　　上Python代码~~

from sympy import *
import math
init_printing()
x = symbols('x')
t1=4*x**2-2*x-1
t2=t1.subs({x:2*x**2-1})
t3=t2.subs({x:2*x**2-1})
t4=t3.subs({x**2:(1-x**2)})
t5=t4.subs({x:3*x-4*x**3})
t6=t5.subs({x:3*x-4*x**3})
factor(t6)

　　t6即为$\sin1^{\circ}$ 满足的多项式，因式分解的结果如下：
　　
　　我们只要依次将$\sin1^{\circ}$ 代入以上三个多项式中验证即可。
　　
　　
　　只需验证$\sin1^{\circ}$ 满足上述的48次多项式即可。

s=factor(t6)/(256*x**8-512*x**6+304*x**4-48*x**2+1)
r=s/(65536*x**16-262144*x**14+430080*x**12-372736*x**10+182784*x**8-50176*x**6+7040*x**4-384*x**2+1)
r.subs({x:math.sin(math.pi/180)})

运行结果如下：

　　因此，$\sin1^{\circ}$ 的最小多项式次数为48.