“真爱也许没有先后，但是陪伴是会有的，人生就那么长，不论何时才能和你走到一起，我都愿意等，只是这个在一起，我永远不希望是牺牲了别人的幸福而得到。”
故事主角小拉、小傅和小Z，如果你只想知道结局：
THE END!
正经的gossip
接下来将以傅立叶分析为切入点，分享我所理解的信号处理中拉普拉斯变换、傅立叶变换和Z变换这三大变换之间的关系（0基础也能看懂，只要有颗八卦的心）。
傅立叶分析是什么？
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无穷多的信号在时间域和频率域之间的转换。
1)无穷多，就是很多很多。
2)信号，形式千变万化，但都可以用无穷多的正弦波叠加而成。
3)时间域，从起床闹钟开始，到几点该做什么，都是用时域在把控。
4)频率域，声音振动频率不同决定了音调高低，音域就是频率域的一种。
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正弦波怎么叠加出各式样的信号？
1)什么是正弦波？
看了维基百科这个生动形象的图后，还有不明白的吗？So，我们就可以认为，正弦波是圆周运动在一条直线上的投影。
2)正弦波叠加后是怎样的？
当年小拉和小傅吵架说，正弦曲线无法组合成一个带有棱角的信号。那接下来我就举个最普通的栗子，用正弦波叠加出矩形波，为小傅平反。
上图中，我们有两点需要注意。
正弦波只能叠加出一个无限接近的矩形波。极限的思想就是告诉我们，就算不断努力积累，还是达不到极限。从时域到频域的转换是不是一目了然，虽然到这，还是不清楚转换的本质，但是基本转换的过程应该是有一定的理解了。所以，有人肯定发现我骗了你，老师说过，正弦波的三要素是，幅值、频率和初相角，现在只有幅频图，相频图呢？
好吧，继续看图：
距离频率轴最近的波峰的值我们称为时间差，这里假设，合成矩形波的周期为2π，每条正弦波的时间差除以本身的周期再乘以合成波的周期2π，就得到了相位差。又因为正弦波是周期函数，所以我们一般认为相位差的值域是[-π,π]。
我目前常用的分析幅相特性的方法有：上述所用的直角坐标表示法和极坐标下的Nyquist曲线、对数坐标系下的Bode图、Nichols图，这些方法都挺好用的，但是这里就不一 一八卦了。
以上这段简单的分析中，原信号在时域中是连续周期的函数，转化到频域中是非周期离散的，这种变换就是傅立叶分析中的傅立叶级数。
傅立叶分析具体有哪些？
处理不同形式的信号，采用的方法肯定不同，所以有了多变的傅立叶：
对于傅立叶变换，可以看成是对一个周期无限大的连续信号先进行傅立叶级数，再把频域离散的幅相曲线转换为连续的，在数学运算中，就是把加变成积分。
BUT,计算机能处理什么信号？没错，数字信号，是连续的吗？当然不，是离散信号。So,刚整明白的傅立叶变换和傅立叶级数，是对计算机不适用的。是不是有点迷茫了，要相信，人生没有白走的路，只是说不适用，但是可以此为基础，根据实际情况摸索属于自己的路。
我们先来看下离散信号和连续信号之间的关系：
看明白上图后继续BUT，貌似还不对哦，计算机能处理无穷的信号吗？不能吧，所以上面说的DTFT和DFS还是不适用。不曾迷茫过又怎会清醒，现在的你应该终于明确了，计算机只能处理离散有限长的信号，而处理方法称为离散傅立叶变换（DFT）。
实际应用中，当接收到时域连续的模拟信号，首先以频率进行采样将信号离散，然后用通过DTFT截取信号的主值周期，然后用DFS进行周期延拓，最后进行DFT得到频域的信号。
你以为这就完了？
复数域的傅立叶变换是什么？
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复数是什么？
1)什么是虚数？
我不知道这个问题有没有意义，但是当年读中学时，还问过老师为什么$i^2=-1$，她至今也没回答我。。。
就像初中以前我还只知道正数，而1-2=？，不存在的，那个时候我以为的数轴是这样的：
后来，老师告诉我1-2可以=-1了，当时我还问过我妈，1毛钱怎么买2毛的拖肥呢？去商店尝试之后，从此负数给我的印象就是欠下的债。所以我像发现新大陆一样，又知道了数轴原来是这样的：
2)刚以为自己世界无敌了，谁知道哪天又蹦出来个虚轴，绝望！！！
生活总是这样瞬息万变的，像奥特曼超人说的那样：“坚持不变的根本，去应对多变的行业（这里可以延伸到生活）。保持对‘优秀’的敬畏之心！每天一个脚印向前迈。”也只能这么安慰自己了。
不要抱怨老师为什么不一次性把话说全，而且一个喘气就是几年。学习过程大都是循序渐进的，由正数→负数→复数的过程，是由数的本质决定的。比如+1在数轴上，它可以表示方向向右、长度为1的向量，将它的起点固定，逆时针旋转180度，就得到了-1，负数就这么来了。那虚数怎么来的呢？根据上面的坐标轴：正数绕点（0,0）逆时针旋转90度的奇数倍就是虚数，这里把正数绕点（0,0）逆时针旋转90度用虚轴的基i来描述，可以把他理解为基本单位或者是奥特曼说的不变的根本。所以上面的栗子可以煮成：
（+1）*（逆时针旋转180度）=-1，
So，（逆时针旋转180度）=-1，
So,i×i=-1,
So,我终于懂为什么了。
所以从此，我概念里的数，便又多了由实数和虚数组成的复数。而前面的信号都是基于实数的，复数是不适用，但原理都是一样的，只是数的性质改变了。
就像人生不同阶段会遇到不一样的人，面临不同程度的选择，就像沙漠里，有人选择寻骆驼，有人等花开，以致到最后，连自己都成了过客，自己也不再是同一个自己。So,下一个主角该上场了。
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实数怎么变化到复数？
这个变化关系就是被称为最帅的数学公式之一的欧拉公式：
$e^{j{\theta}}=cos{\theta}+jsin{\theta}$
在图中，能看到$e^{-{j{\theta}}}=cos{\theta}-jsin{\theta}$不？看不到就再好好看看吧，这两个公式相加，整理后可以得到：$cos{\theta}=\frac{e^{j{\theta}}+e^{-{j{\theta}}}}{2}$。
这里直接分析时域里的复数信号喽，在复平面，横轴表示实数，纵轴表示虚数，信号的幅值肯定是个落在横轴上的实数，而相角$\theta=wt={\frac{2\pi}{T}}t=2{\pi}ft$，则是不断变化的，所以，信号在复平面内是随着时间的变化呈现出螺旋线状的运动，所以上面的公式，就变成了，$cos{2{\pi}ft}=\frac{e^{j{2{\pi}ft}}+{e^{-{j{2{\pi}ft}}}}}{2}$，所以，有没有发现，一个余弦信号，其实就是两个共轭向量的叠加。
好像这里又回到了故事最初的起点了，是的，在复数域里，还是满足不管你想要什么，就要不断为之努力。所以，不管什么信号，它在任意时刻都是$x'(t)=x(t)e^{2{\pi}(-f)tj}=x(t)e^{-2{\pi}jft}$这样的，对其求积分$x(f)=\int_{-\infty}^{\infty}{x'(t)}dt=\int_{-\infty}^{\infty}{{x(t)}e^{-2{\pi}jft}}dt$。
这不就是傅立叶变换吗？是的，这就是复数域的傅立叶变换。
Z变换是什么？
Z是复平面里的变量，其构成一个复平面（亦称为S平面）所在的平面称为Z平面。
S平面和Z平面之间的关系？
整篇文章没有扒小拉，虽然她是三大变换中年龄最大的，但我感觉小傅和小Z通过彼此，看到了更广阔的的世界，他们是同域中人，所以想给他们个特写。即使在时域中，小傅&小拉，而小Z只是在忽明忽暗的交错空间，难以触碰，然沦为，一阵风，一场空。
“当然最后，这个三角关系，因为从时域到频域的自由变换，而变得幸福美满、和谐共生。所以不管是什么关系，将会怎么发展，取决于你思考的角度，谁都代替不了谁，在频域里都是特别的个体，只是我们通常把人生用时间限制，再被约定俗成的很多东西捆绑，造成出场顺序往往决定故事结尾。
帕斯维尔定理说，时域的总能量和频域的总能量是相等的。所以，从频域看，找到独一无二的自己之后，对或错好像也没那么重要了。有些事，只要想做了，结局无非是成了所爱的那道光或是他的影，而两者，我皆愿承受。”
时域到频域的变化有什么用？
作为一大三小白，我只知道经常用来滤波。
以我用MATLAB合成许嵩的《素颜》为例：
是素颜吗？也许是，我一开始也没听出来，然后强行脑补才感觉有些神似。
部分时域：
部分频域：
这里在编程中就是采用傅立叶分析进行了滤波，所以没有啪啦啪啦的噪声，虽然和原曲速度有差，我也尝试根据理论数据修改采样频率，最终还是没能调成一致，有感兴趣的可一起交流。
致最可爱的人
感谢邢静老师的指导!
感谢奥特曼超人!
THE END!
