【算法分析】煎饼问题(Pan Cake Problem)

作者：gnuhpc
出处：http://www.cnblogs.com/gnuhpc/

今天继续看《编程之美》的第三个问题。

问题的描述就不多说了，这是一个典型的离散数学问题（这个链接有非常详细的问题描述），喜欢图案的童鞋（比如我），可以参看CMU的一个讲义。

从1975年比尔盖茨和他的导师发表的文章：Gates, W. and Papadimitriou, C. "Bounds for Sorting by Prefix Reversal." Discrete Mathematics. 27, 47~57, 1979. 开始，二三十年间不断有人在讨论。现在维基百科中对这个问题有两个词条pancake sorting和prefix reversal。

书中的初步解析大体思路自然是没有一点问题，只是得出的上界结论有点不正确，这个直接影响了书中递归退出条件：“我们至多需要 2（n-1）次翻转就可以把所有烙饼排好序”。这个数值应该是2n-3，如下推理：我们知道将最大尺寸的放在最下边最多需要2次，此时取这n个中的n-2个（剩下那个最小的和次最小的），将这个n-2个煎饼按由小到大放置好最多需要2(n-2)次，此时还有两个，最多只需要1次就可以完成整个煎饼的排序。所以，上限次数为2(n-2)+1=2n-3。

当然这个是上限，会有更优化的解法，于是书中就给出了一些讨论，说真的我没太看懂，分析相对于冗长的代码实在太少……

这篇论文给了一个所谓断点的思路，个人觉得不错。文中后来提到比尔盖茨的论文使用的演算法，进而引出了DNA序列问题，使得这个游戏一样的问题焕发出了新的光彩。

另外，值得注意的是现在所谓“煎饼数”（书中有定义）的计算已经到了n=19的地步，以下两个独立研究可以作为参考，我对偏向纯数学的就不是很geek，没太研究了。

http://arxiv.org/abs/0901.3119 http://kam.mff.cuni.cz/~cibulka/pancakes/

http://www.springerlink.com/content/l1650023g3443852/

我觉得新版的《编程之美》要是更新这个题的话，可以多参阅这个链接。

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