3.2.5 Taylor级数
命令1 符号函数的Taylor级数展开式
函数 taylor
格式 r = taylor(f,n,v) %返回符号表达式f中的、指定的符号自变量v（若表达式f中有多个变量时）的n-1阶的Maclaurin多项式（即在零点附近v=0）近似式，其中v可以是字符串或符号变量。
r = taylor(f) %返回符号表达式f中的、符号变量v的6阶的Maclaurin多项式（即在零点附近v=0）近似式，其中v=findsym(f)。
r = taylor(f,n,v,a) %返回符号表达式f中的、指定的符号自变量v的n-1阶的Taylor级数（在指定的a点附近v=a）的展开式。其中a可以是一数值、符号、代表一数字值的字符串或未知变量。我们指出的是，用户可以以任意的次序输入参量n、v与a，命令taylor能从它们的位置与类型确定它们的目的。解析函数f(x)在点x=a的Taylor级数定义为：
例3-46
>>syms x y a pi m m1 m2
>>f = sin(x+pi/3);
>>T1 = taylor(f)
>>T2 = taylor(f,9)
>>T3 = taylor(f,a)
>>T4 = taylor(f,m1,m2)
>>T5 = taylor(f,m,a)
>>T6 = taylor(f,y)
>>T7 = taylor(f,y,m) % 或taylor(f,m,y)
>>T8 = taylor(f,m,y,a)
>>T9 = taylor(f,y,a)
计算结果为：
T1 =
1/2*3^(1/2)+1/2*x-1/4*3^(1/2)*x^2-1/12*x^3+1/48*3^(1/2)*x^4+1/240*x^5
T2 =
1/2*3^(1/2)+1/2*x-1/4*3^(1/2)*x^2-1/12*x^3+1/48*3^(1/2)*x^4+1/240*x^5-1/1440*3^(1/2)* x^6-1/10080*x^7+1/80640*3^(1/2)*x^8
T3 =
sin(a+1/3*pi)+cos(a+1/3*pi)*(x-a)-1/2*sin(a+1/3*pi)*(x-a)^2-1/6*cos(a+1/3*pi)* (x-a)^3+1/24*sin(a+1/3*pi)*(x-a)^4+1/120*cos(a+1/3*pi)*(x-a)^5
T4 =
sin(m2+1/3*pi)+cos(m2+1/3*pi)*(x-m2)-1/2*sin(m2+1/3*pi)*(x-m2)^2-1/6* cos(m2+1/3*pi)*(x-m2)^3+1/24*sin(m2+1/3*pi)*(x-m2)^4+1/120*
cos(m2+1/3*pi)*(x-m2)^5
T5 =
sin(a+1/3*pi)+cos(a+1/3*pi)*(x-a)-1/2*sin(a+1/3*pi)*(x-a)^2-1/6*cos(a+1/3*pi)* (x-a)^3+1/24*sin(a+1/3*pi)*(x-a)^4+1/120*cos(a+1/3*pi)*(x-a)^5
T6 =
sin(y+1/3*pi)+cos(y+1/3*pi)*(x-y)-1/2*sin(y+1/3*pi)*(x-y)^2-1/6*cos(y+1/3*pi) *(x-y)^3+1/24*sin(y+1/3*pi)*(x-y)^4+1/120*cos(y+1/3*pi)*(x-y)^5
T7 =
sin(m+1/3*pi)+cos(m+1/3*pi)*(x-m)-1/2*sin(m+1/3*pi)*(x-m)^2-1/6*cos(m+1/3*pi) *(x-m)^3+1/24*sin(m+1/3*pi)*(x-m)^4+1/120*cos(m+1/3*pi)*(x-m)^5
T8 =
sin(a+1/3*pi)+cos(a+1/3*pi)*(x-a)-1/2*sin(a+1/3*pi)*(x-a)^2-1/6*cos(a+1/3*pi)* (x-a)^3+1/24*sin(a+1/3*pi)*(x-a)^4+1/120*cos(a+1/3*pi)*(x-a)^5
T9 =
sin(a+1/3*pi)+cos(a+1/3*pi)*(x-a)-1/2*sin(a+1/3*pi)*(x-a)^2-1/6*cos(a+1/3*pi)* (x-a)^3+1/24*sin(a+1/3*pi)*(x-a)^4+1/120*cos(a+1/3*pi)*(x-a)^5
命令2 Taylor级数计算器
函数 taylortool
格式 taylortool %该命令生成一图形用户界面，显示缺省函数f=x*cos(x)在区间[-2*pi，2*pi]内的图形，同时显示函数f的前N=7项的Taylor多项式级数和(在a=0附近的)图形，如图1。通过更改f(x)项可得不同的函数图形。
taylortool('f') %对指定的函数f，用图形用户界面显示出Taylor展开式。（图3-14）
例3-47
>>taylortool('sin(x*sin(x))')
再通过改变相关的参量，可得如图3-15。
图3-14 Taylor级数计算器 图3-15 函数sin(x*sin(x))的taylortool界面
3.2.6 其它
命令1 Jacobian矩阵
函数 jacobian
格式 R = jacobian(w,v)
说明 计算w对v的Jacobian矩阵。其中w为符号单值函数表达式或符号列向量，v为一符号行向量。输出参量R=（rij）的元素rij 为：，i=1,2,…,size(w)，j=1,2,…,length(v)
例3-48
>>syms x y z u v w
>>w = [x*y*z; y; x+z];
>>v = [x,y,z];
>>R = jacobian(w,v)
>>b = jacobian(x+u, v)
计算结果为：
R =
[ y*z, x*z, x*y]
[ 0, 1, 0]
[ 1, 0, 1]
b =
[ 1, 0, 0]
命令2 Jordan标准形
函数 jordan
格式 J = jordan(A) %计算矩阵A的Jordan标准形。其中A为一确切已知的符号或数值矩阵。即它的元素必须是整数或小整数的比值。任何的矩阵输入误差将导致不同的Jordan标准形。即Jordan标准形对数据是敏感的。
[V,J] = jordan(A) %返回Jordan标准形矩阵J与相似变换矩阵V，其中V的列向量为矩阵A的广义特征向量。它们满足：V\A*V=J。
例3-49
>>A = [1 -3 -2; -1 1 -1; 2 4 5]
>> [V,J] = jordan(A)
>>V = double(V);
>>Test = all(all(V\A*V == J))
计算结果为：
V =
-1 -1 1
0 -1 0
1 2 0
J =
3 0 0
0 2 1
0 0 2
Test = 1
命令3 Lamber的W函数
函数 lambertw
格式 Y = lambertw(X) %计算参量X的每一元素x的Lamber的W函数值，其中X为一数值或符号矩阵。Lamber的函数W=W(x)为方程的解：wew = x。
例3-50
>>W1 = lambertw([ -exp(-1); pi])
>>syms x y
>>W2 = lambertw([0 x;1 y])
计算结果为：
W1 =
-1.0000 + 0.0000i
1.0737
W2 =
[ 0, lambertw(x)]
[ lambertw(1), lambertw(y)]
命令4 符号表达式的LaTex的表示式
函数 latex
格式 latex(S) %返回符号表达式S的LaTex格式的表示式。该格式可以使表达式S在图形窗口中进行显示（如命令title、text等）。
例3-51
>>syms x
>>f = taylor(sin(1+x));
>>Lat1 = latex(f)
>>M = sym(magic(3));
>>Lat2 = latex(M)
计算结果为：
Lat1 =
\sin(1)+\cos(1)\mbox {{\tt `x~`}}-1/2\,\sin(1){\mbox {{\tt `x~`}}}^{2}-1/6\,\cos(1){\mbox {{\tt `x~`}}}^{3}+1/24\,\sin(1){\mbox {{\tt `x~`}}}^{4}+{\frac {1}{120}}\,\cos(1){\mbox {{\tt `x~`}}}^{5}
Lat2 =
\left [\begin {array}{ccc} 8&1&6\\\noalign{\medskip}3&5&7\\\noalign{\medskip}4…
&9&2\end {array}\right ]
命令5 调用Maple内核
函数 maple
格式 r = maple('statement') %将参数命令statement传递给Maple内核，且返回计算结果。在必要时，可以在参量statement后面加上分号(;)。
r = maple('function',arg1,arg2,…) %该命令接受任何的带引号的函数名'function'，与相关的输入参量arg1,arg2,…。在必要时，要将输入参量转换成符号表达式。若输入参量为syms，则maple返回一sym，否则返回一类型为char的结果。
[r, status] = maple(…) %有条件地返回警告/错误信息。当语句能顺利执行，则r为计算结果，status为0；若语句不能通过执行，r为相应的警告/错误信息，而status为一正整数。
maple('traceon') 、maple traceon、maple trace on %将显示所有的后面的Maple语句与其相应的结果显示于屏幕上
maple('traceoff') 、maple traceoff、maple trace off %将关闭上面的操作特性
例3-52
>>Pi = maple('evalf(Pi,100)')
>>syms x
>>v = [x^2-1;x^2-4]
>>maple traceon
>>w = factor(v)
计算结果为：
Pi =
3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164…
06286208998628034825342117068
v =
[ x^2-1]
[ x^2-4]
statement:
map(ifactor,array([[x^2-1],[x^2-4]]));
result:
Error, (in ifactor) invalid arguments
statement:
map(factor,array([[x^2-1],[x^2-4]]));
result:
matrix([[(x-1)*(x+1)], [(x-2)*(x+2)]])
w =
[ (x-1)*(x+1)]
[ (x-2)*(x+2)]
命令6 初始化Maple内核
函数 mapleinit
格式 mapleinit 该命令用于确定包含Maple库的路径，再装载Maple的线性代数与积分变换包、初始化命令digits、指定几个别名。用户可以编辑mapleinit的M-文件，用于改变到Maple包的路径，只需按如下的方法改变变量initstring的值：
1．若用户已经有一Maple V，Release 5的库在目录C:\Maple\Lib上，在文件mapleinit.m中加入：maplelib = 'C:\MAPLE\LIB'
2．从MATLAB中删除旧的Maple包版本。
命令7 Maple数学函数的数值计算
函数 mfun
格式 Y = mfun('function',par1,par2,par3,par4)
说明 计算一指定的Maple软件中已知的数学函数function的数值。每一参量par为该函数相应的具体数值。用户可以输入满4个参量。最后指定的参量可以是矩阵，通常对应于x。其他参量的位数取决于该函数规定的范围。用户可以通过下面的命令获得相关参数的信息：help mfunlist；mhelp function；Maple用16位精度计算函数function。函数function中的任何奇异值将返回NaN。
例3-53
>>M1 = mfun('dilog',5)
>>M2 = mfun('Psi',[3*i 0])
计算结果为：
M1 =
-2.3699
M2 =
1.1080 + 1.7375i NaN
命令8 列出命令mfun中特定的Maple函数
函数 mfunlist
格式 mfunlist
1．列出在使用命令mfun中用到的特殊的数学函数。下表中参量的一些约定：x,y：实数参量；z,z1,z2：复数参量；m,n：整数参量
表3-1 mfun特殊函数
| 函数名 |
定 义 |
Mfun名 |
参量说明 |
| Bernoulli数 与多项式 |
生成函数： |
Bernoulli(n) Bernoulli(n,t) |
n≥0 0<|t|<2π |
| Bessel函数 |
BesselI, BesselJ：第一类Bessel函数 BesselK, BesselY：第二类Bessel函数 |
BesselJ(v,x) BesselY(v,x) BesselI(v,x) BesselK(v,x) |
v为实数 |
| Beta函数 |
Beta(x,y) |
|
|
| 二项式系数 |
Binomial(m,n) |
||
| 完全椭圆积分 |
第一、二、三类Legendre完全椭圆积分 |
LegendreKc(k) LegendreEc(k) LegendrePic(a,k) |
a为任意实数 -∞<a<∞ k为任意实数 0<k<1 |
| 带余模的完全 椭圆积分 |
与余模相关的第一、二、三类Legendre完全椭圆积分 |
LegendreKc1(k) LegendreEc1(k) LegendrePic1(a,k) |
a为任意实数 -∞<a<∞ k为任意实数 0<k<1 |
| 余差函数 与它的累积分 |
Erfc(z) =
erfc(n,z) =
|
erfc(z) erfc(n,z) |
n>0 |
| Dawson积分 |
dawson(x) |
||
| Ψ-函数 |
Psi(x) |
||
| 二重对数积分 |
dilog(x) |
x>1 |
|
| 误差函数 |
|
erf(z) |
|
| Euler数与多项式 |
生成Euler数的函数：
|
euler(n) euler(n,z) |
n≥0 |t|<π/2 |
| 指数积分 |
|
Ei(n,z) Ei(x) |
n≥0 real(z)>0 |
| Fresnel正弦 与余弦积分 |
FresnelC(x) FresnelS(x) |
||
| Г-函数 |
GAMMA(z) |
||
| 调和函数 |
=Ψ(n+1) + γ |
harmonic(n) |
n>0 |
| 双曲正弦 与余弦积分 |
Chi(z) = γ+ln(z) +
|
Shi(z) Chi(z) |
|
| 广义超几何函数 |
F(n,d,z) = |
hypergeom(n,d,x) 其中 n = [n1,n2,…] d = [d1,d2,…] |
n1,n2,… 为实数 d1,d2,… 为非负实数 |
| 不完全椭圆积分 |
第一、二、三类不完全Legendre完全椭圆积分 |
LegendreF(x,k) LegendreE(x,k) LegendrePi(x,a,k) |
0<x≤∞，a为实数 -∞<a<∞，k为实数 0<k<1 |
| 不完全Г-函数 |
Г(a,z)= |
GAMMA(z1,z2) |
|
| Г-函数的对数 |
lnГ(z) = ln(Г(z)) |
lnGAMMA(z) |
|
| 对数积分 |
= Ei(ln(x)) |
Li(x) |
x>1 |
| Г多项式函数 |
其中Ψ(z)为Γ-函数
|
Psi(n,z) |
N≥0
|
| 移位正弦积分 |
Ssi(z)=Si(z) – π/2 |
Ssi(z) |
对于上面的特殊函数function，用户可以通过下面的命令得到更多的帮助信息：mhelp function
总的来说，函数的精度跟它的根相比会较低，且当它的参数相对而言较大时，精度也较底。函数的执行时间取决于特定的函数与它的输入参量。总之，其计算将比标准的MATLAB计算慢一些。
2．正交多项式函数：
下面的函数需要Maple正交多项式包，它们仅仅对于MATLAB的扩展符号数学工具箱有用。在使用这些函数之前，用户要用下面的命令初始化Maple正交多项式包：maple('with','orthopoly')
表3-2 正交多项式函数
下表参量的约定：n：非负整数；x：任意实数
| 多 项 式 |
Maple名 |
参量说明 |
| Gegenbauer多项式 |
G(n,a,x) |
a为非有理数代数表达式或者是大于-1/2的有理数 |
| Hermite多项式 |
H(n,x) |
|
| Laguerre多项式 |
L(n,x) |
|
| 广义Laguerre多项式 |
L(n,a,x) |
a为非有理数代数表达式或者是大于-1的有理数 |
| Legendre |
P(n,x) |
|
| Jacobi |
P(n,a,b,x) |
a与b为非有理数代数表达式或者是大于-1的有理数 |
| 第一、二类Chebyshev多项式 |
T(n,x)U(n,x) |
命令9 Maple命令帮助
函数 mhelp
格式 mhelp topic、mhelp('topic')
说明 返回Maple软件中指定的Maple标题topic的在线帮助文档信息。
命令10 交互式计算Riemann和
函数 rsums
格式 rsums(f) %交互式地通过Riemann和计算函数f(x)的积分。rsums(f)显示函数f 的图形。用户可以通过拖动图形下方的滑块来调整Riemann和的项数，有效的项数从2到128。
例3-54
>>rsums sin(-5*x^2)
计算图形为图3-16。
图3-16 函数的Riemann和
命令11 在一符号表达式或矩阵中进行符号替换
函数 subs
格式 R = subs(S) %用从调用的函数中获得的变量值，或MATLAB的工作空间中存在的变量值，替换表达式S中所有出现的相同的变量，同时自动进行化简计算；若是数值表达式，则计算出结果。
R = subs(S,old,new) %用新值new替换表达式s中的旧值old，参量old是一符号变量或代表一变量名的字符串，new是一符号/数值变量或表达式。若old与new为有相同大小的阵列，则用new中相应的元素替换old中的元素；若S与old为标量，而new为阵列或单元阵列，则标量S与old将扩展为与new同型的阵列；若new为数值矩阵的单元阵列，则替换按元素的方向执行。若subs(S,old,new)没有改变S，则subs(S,old,new)被证明是可靠的。这提供了对以前版本的向后兼容性，且不会交换参量的位置。
例3-55
>>a = 980,C1=3;
>>y = dsolve('Dy = -a*y')
>>syms b
>>subs(y)
>>subs(a+b,a,4)
>>subs(cos(a)+sin(b),{a,b},{sym('alpha'),2})
>>subs(exp(a*t),'a',-magic(2))
>>subs(x*y,{x,y},{[0 1;-1 0],[1 -1;-2 1]})
命令12 创建符号数值、变量与对象
函数 sym
格式 S = sym(A) %用输入参量A，构造一类型为‘sym’的对象s。若A为字符串，则S为符号数值或变量；若A为一数值标量或矩阵，则S为代表所给数值的符号表达式。
x = sym('x') %创建一名字为‘x’的符号变量，且将结果存于x。
pi = sym('pi') %创建一符号数值，这可避免了用浮点近似表示π的误差，pi的这种创建方法将暂时地代替了有相同名字、用于生成无理数π的近似值的内建数值函数pi.m。
x = sym('x','real') %创建一实符号变量。若x有了具体的值，则命令clear x只能清除x的值，而不能改变x的“属性”。
x = sym('x','unreal') %使x变成一纯粹的、没有任何附加属性的符号变量。
S = sym(A,flag) %将一数值标量或矩阵转换成符号形式。对浮点数值的转换方法要用第二个参量flag来指定。其中flag可以是'r'、'd'、'e'、'f'。
’f’：代表“浮点格式”。
’r’：代表“有理格式”（该方式为缺省转换格式）。
’e’：代表“估计误差”。
’d’：代表“十进制格式”。
命令13 创建多个符号对象的快捷命令
函数 syms
格式 syms arg1 arg2 … %定义arg1、arg2为符号
syms arg1 arg2 … real %该命令是下列命令的简洁形式：
arg1 = sym('arg1','real');
arg2 = sym('arg2','real'); …
syms arg1 arg2 … unreal %该命令是下列命令的简洁形式：
arg1 = sym('arg1','unreal');
arg2 = sym('arg2','unreal'); …
注：clear x不能清除符号变量x的属性“real”，只能清除变量x。要想清除该属性，要输入：syms x unreal或clear mex或clear all。执行后面的两个命令后，Maple内核将重新装载入MATLAB的工作空间（这是不可取的，因为花费时间）。
例3-56
>>syms x beta real %符号对象已经生成，执行下面一些操作：
>>whos
将显示工作空间中存在变量的详细信息：
Name Size Bytes Class
beta 1x1 132 sym object
x 1x1 126 sym object
Grand total is 7 elements using 258 bytes
y = x + i*beta; clear x; y
通过上面的操作，我们看到，当x被清除掉后，y的值并没有马上改变：
y =
x+i*beta
命令14 将符号多项式转化为数值多项式
函数 sym2poly
格式 c = sym2poly(s) %返回符号多项式s的数值系数行向量c。多项式自变量次数的系数按降幂排列。即行向量c的第一分量c1为多项式s的最高次数项的系数，c2为第二高次数项的系数，如此类推。
例3-57
>>syms x u;
>>c1 = sym2poly(3*x^3 - 2*x^2 – sqrt(5))
>>c2 = sym2poly(u^4 – 3 + 5*u^2)
计算结果为：
c1 =
3.0000 -2.0000 0 -2.2361
c2 =
1 0 5 0 -3
命令15 可变精度算法
函数 vpa
格式 R = vpa(A) %用可变精度算法来计算A中的每一元素，使其成为有d位精确度的十进制数。其中d为命令digits设置的当前位数。R中的每一元素为一符号表达式。
R = vpa(A,d)或R = vpa A d %用参量d指定的位数(而非命令digits设置的位数)来表示A中的每一元素。R中的每一元素为一符号表达式。
例3-58
>>digits(25)
>>q = vpa(sym(sin(pi/6)))
>>p = vpa(pi)
>>gold_ratioi = vpa('(sqrt(5)-1)/2')
>>vpa pi 75
>>A = vpa(gallery(5),8)
>>B = vpa(hilb(3),5)
计算结果为：
q =
.5000000000000000000000000
p =
3.141592653589793238462643
gold_ratioi =
.6180339887498948482045870
ans =
3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097… 494459230781640629
A =
[ -9., 11., -21., 63., -252.]
[ 70., -69., 141., -421., 1684.]
[ -575., 575., -1149., 3451., -13801.]
[ 3891., -3891., 7782., -23345., 93365.]
[ 1024., -1024., 2048., -6144., 24572.]
B =
[ 1., .50000, .33333]
[ .50000, .33333, .25000]
[ .33333, .25000, .20000]
命令16 符号表达式的C语言代码
函数 ccode
格式 ccode(s) %返回C语言的、用于计算符号表达式s的语句段落
例3-59
>>syms x
>>s = taylor(exp(x));
>>ccode(s)
计算结果为：
ans =
t0 = 1.0+x+x*x/2.0+x*x*x/6.0+x*x*x*x/24.0+x*x*x*x*x/120.0;
注：t0为在x=0附近的计算公式（Taylor展式）。
命令17 符号表达式的Fortran语言代码
函数 fortran
格式 fortan(s) %返回一Fortan语言的、用于计算符号表达式s的语句段落
例3-60
>>syms x
>>f = taylor(sin(x));
>>F1 = fortran(f)
>>H = sym(hilb(4));
>>F2 = fortran(t*(H))
计算结果为：
F1 =
t0 = x-x**3/6+x**5/120
F2 =
T(1,1) = t T(1,2) = t/2 T(1,3) = t/3 T(1,4) = t/4
T(2,1) = t/2 T(2,2) = t/3 T(2,3) = t/4 T(2,4) = t/5
T(3,1) = t/3 T(3,2) = t/4 T(3,3) = t/5 T(3,4) = t/6
T(4,1) = t/4 T(4,2) = t/5 T(4,3) = t/6 T(4,4) = t/7
