基础03：原码、反码、补码

本文介绍原码、反码、补码，以及为什么要使用补码。需要了解数学的取模运算。

机器数与真值

机器数，即数字在计算机中的二进制表示形式。
真值，第一位用+-表示数字的正负，其余为二进制数。
举个栗子：-3的机器数是10000011，真值是-0000011。

原码

原码，符号位加真值的绝对值。

1
2

+3[原] = 00000011
-3[原] = 10000011

8位二进制数原码的取值范围是[11111111, 01111111]，即[-127, 127]

反码

正数的反码是其原码。
负数的反码，符号位不变，其余各位取反，即1变成0，0变成1。

1
2

+3[反] = 00000011[原] = 00000011[反]
-3[反] = 10000011[原] = 11111100[反]

8位二进制数反码的取值范围是[11111111, 01111111]，即[-127, 127]

补码

正数的的补码是其原码。
负数的补码，是其反码+1。

1
2

+3[补] = 00000011[原] = 00000011[反] = 00000011[补]
-3[反] = 10000011[原] = 11111100[反] = 11111101[补]

反码和补码均不能直接看出其实际的数值，需要转换成原码后再计算。

为何要使用补码

原码比较直观，它的数值部分就是该数的绝对值，而且与真值、十进制数的转换十分方便。但是它的加减法运算较复杂。当两数相加时，机器要首先判断两数的符号是否相同，如果相同则两数相加，若符号不同，则两数相减。在做减法前，还要判断两数绝对值的大小，然后用大数减去小数，最后再确定差的符号。换言之，用这样一种直接的形式进行加运算时，负数的符号位不能与其数值部分一同参加运算，而必须利用单独的线路确定和的符号位。要实现这些操作，电路就很复杂。
为了减少设备，解决机器内负数的符号位参加运算的问题，总是将减法运算变成加法运算，引进了反码机器数，可以让符号位直接参与计算，把它统一看做无符号数。

1

-3 + 2 = 11111100[反] + 00000010[反] = 11111110[反] =10000001[原] = -1

看似挺好，但也会出问题。

1

3 - 2 = 3 + (-2) = 00000011[反] + 11111101[反] = 00000000[反] = 00000000[原] = 0

显然是不对的。
反码可以让符号位直接参与运算，但计算结果有错误。
并且，11111111[反] = 10000000[原] = -0 00000000[反]=00000000[原] = +0
自然数中， -0 = +0 = 0，但是0却又两个表示。
所以，反码充满了错误。

为了解决反码的错误，引入了补码。

1
2
3

-3 + 2 = 11111101[补] + 00000010[补] = 11111111[补] = 11111110[反] = 10000001[原] = -1
3 + (-2) = 00000011[补] + 11111110[补] = 00000001[补] = 00000001[原] = 1
1 + (-1) = 00000001[补] + 111111111[补] = 00000000[补] = 00000000[原] = 0

即，0 可以用00000000[补]表示，-0不存在。用10000000[补]表示-128。

1

(-1) + (-127) = 11111111[补] + 10000001[补] = 10000000[补] = -128

注：-1 + -127的结果是-128，所以用补码最后计算的结果10000000[补]来表示-128，但-128并不存在反码和原码。若按照反码和原码计算，10000000[补] = 01111111[反] = 00000000[原] = 0显然是不正确的。
使用了补码，可以再[-127, 127]的范围内，在表示-128，即可以表示的范围是[-128, 127]。
所以，n位二进制数，可表示的整数范围是[-2^n-1, (2^n-1) - 1]。上述的栗子n=8，即一个字节。

取模(mod)

正数取模，易于理解。

1

5 mod 3 = 2

负数取模，要理解取模运算的数学定义。

1

x mod y = x - y * floor(x/y)

其中floor(x)称为向下取整函数，表示不超过x的最大整数。
举个栗子：

1

-5 mod 3 = -5 - 3 * floor(-5 / 3) = -5 - 3 * floor(-1.6666...)= -5 - 3 * (-2) = 1

所以-5 mod 3 = 1

同余

若x mod z = y mod z，那么称x， y关于z同余，记为 x ≡ y (mod z)。
同余有很多定理，与本文没有关系，有兴趣的童鞋自己去证明或查资料。

补码的数学原理

先说结论：补码对应的无符号整数与真值是关于256(=28)同余。
正数和0的补码对应的无符号整数等于其真值，所以也同余。
关于负数，举个栗子。
-3 = 11111101[补] 而11111101作为无符号二进制的值是253。
-3 mod 256 = -3 - 256 * floor(-3/256) = -3 - 256 * (-1) = 253
253 mod 256 = 253
所以 -3 ≡ 253 (mod 256)。
进一步的结论，在8位机中，计算机的循环计数周期为256，符号位参与运算，即将其当做无符号数进行运算后的结果，实际是把真值对256取模。在原码、反码、补码中，只有补码对应的无符号数与真值是关于256同余的，所以用补码的形式表示数字是符合数学原理的。

总结

1. 原码即数值的二进制本身，最高位表示符号位，0为正数，1为负数。
2. 正数的反码为其原码，负数的反码，除符号位外，其余各个位取反。
3. 正数的补码为其原码，负数的原码，为反码+1。
4. 补码的取值范围是[-2^n-1, (2^n-1) - 1]，可以表示最多的整数，而且符号位参与运算不会出错。
5. 补码的数学解释是补码的无符号二进制数与补码的真值关于2^n同余。

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