Tom and matrix
Problem's Link: http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5226
Mean:
题意很简单，略。
analyse:
直接可以用Lucas定理+快速幂水过的，但是我却作死的用了另一种方法。
方法一：Lucas定理+快速幂水过
方法二：首先问题可以转化为求(0,0)，(n,m)这个子矩阵的所有数之和。画个图容易得到一个做法，对于n<=m，答案就是2^0+2^1+...+2^m=2^(m+1)-1，对于n>m，答案由两部分构成，一部分是2^(m+1)-1，另一部分是sigma i:m+1->n f[i][m]，f[i][m]表示第i行前m列的数之和，f数组存在如下关系，f[i][m]=f[i-1][m]*2-C[i-1][m]，f[m][m]=2^m。还有另一种思路：第i列的所有数之和为C(i,i)+C(i+1,i)+...+C(n,i)=C(n+1,i+1)，于是答案就是sigma i:0->min(n,m) C(n+1,i+1)。
Lucas定理：由于题目给定的模是可变的质数，且质数可能很小，那么就不能直接用阶乘和阶乘的逆相乘了，需要用到Lucas定理，公式：C(n,m)%P=C(n/P,m/P)*C(n%P,m%P)，c(n,m)=0(n<m)。当然最终还是要预处理阶乘和阶乘的逆来得到答案。复杂度O(nlogP+nlogn)
Time complexity: O(n)
Source code:
Lucas定理+快速幂
/* * this code is made by crazyacking * Verdict: Accepted * Submission Date: 2015-05-21-23.28 * Time: 0MS * Memory: 137KB */ #include <queue> #include <cstdio> #include <set> #include <string> #include <stack> #include <cmath> #include <climits> #include <map> #include <cstdlib> #include <iostream> #include <vector> #include <algorithm> #include <cstring> #define LL long long #define ULL unsigned long long using namespace std; const int maxn=100010; struct cell { int x,y; bool operator<(cell c) const { return x==c.x?(y<c.y):(x<c.x); } }p[2]; LL mod; LL Pow(LL a,LL b) { LL ret=1; a%=mod; while(b) { if(b&1) ret=ret*a%mod; a=a*a%mod; b>>=1; } return ret%mod; } namespace lucas { LL A[maxn],inv[maxn]; void init() { A[0]=1,A[1]=1; inv[1]=1;inv[0]=1; for(int i=2;i<maxn;i++) {A[i]=A[i-1]*(LL)i%mod;inv[i]=Pow(A[i],mod-2);} } LL Lucas(LL a,LL b) { if(a<b) return 0; if(a<mod&&b<mod) return (A[a]*inv[b]%mod)*inv[a-b]%mod; return Lucas(a/mod,b/mod)*Lucas(a%mod,b%mod)%mod; } } using namespace lucas; int main() { ios_base::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); while(cin>>p[0].x>>p[0].y>>p[1].x>>p[1].y>>mod) { if(p[0].y>p[0].x&&p[1].y>p[1].x&&p[0].y>p[1].x) {printf("0\n");continue;} init(); sort(p,p+2); if(!(p[0].x<=p[1].x && p[0].y<=p[1].y)) { int x1=p[0].x,y1=p[0].y,x2=p[1].x,y2=p[1].y; p[0].x=x1,p[0].y=y2,p[1].x=x2,p[1].y=y1; } LL sta=p[0].x,en=p[1].x,h=p[0].y,ans=0; while(h<=p[1].y && sta<=en ) { if(sta<h) sta=h; ans=(ans+Lucas(en+1,h+1)-Lucas(sta,h+1)+mod)%mod; h++; } printf("%lld\n",ans); } return 0; } /* */
方法二：
/* * this code is made by crazyacking * Verdict: Accepted * Submission Date: 2015-05-21-02.58 * Time: 0MS * Memory: 137KB */ #include <queue> #include <cstdio> #include <set> #include <string> #include <stack> #include <cmath> #include <climits> #include <map> #include <cstdlib> #include <iostream> #include <vector> #include <algorithm> #include <cstring> #define LL long long #define ULL unsigned long long using namespace std; struct cell { int x,y; bool operator<(cell c) const { return x==c.x?(y<c.y):(x<c.x); } }p[2]; LL mod; LL inv[101000],A[101000]; inline LL Pow(LL a,LL b) { LL ret=1; a%=mod; while(b) { if(b&1) ret=ret*a%mod; a=a*a%mod; b>>=1; } return (ret-1)%mod; } void init() { A[0]=1,A[1]=1; inv[1]=1;inv[0]=1; for(int i=2;i<101000;i++) {A[i]=A[i-1]*(LL)i%mod;inv[i]=Pow(A[i],mod-2);} } LL Lucas(LL a,LL b) { if(a<b) return 0; if(a<mod&&b<mod) return (A[a]*inv[b]%mod)*inv[a-b]%mod; return Lucas(a/mod,b/mod)*Lucas(a%mod,b%mod)%mod; } inline LL Pow(LL b) { b=b+1; if(b<0) return 0; LL a=2; LL ret=1; a%=mod; while(b) { if(b&1) ret=ret*a%mod; a=a*a%mod; b>>=1; } return (ret-1)%mod; } inline int calc_Matrix(int x,int y) { if(x<0||y<0) return 0; if(x<=y) return Pow(x); else { LL sum1=Pow(y); LL tmp=Pow(y)-Pow(y-1); LL sum2=0; for(int i=y+1;i<=x;++i) { tmp=tmp*2-(int)Lucas((LL)i-1,(LL)y); tmp%=mod; sum2+=tmp; sum2%=mod; } return (sum1+sum2)%mod; } } int main() { ios_base::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); while(cin>>p[0].x>>p[0].y>>p[1].x>>p[1].y>>mod) { if(p[0].y>p[0].x&&p[1].y>p[1].x&&p[0].y>p[1].x) {printf("0\n");continue;} init(); sort(p,p+2); if(!(p[0].x<=p[1].x && p[0].y<=p[1].y)) { int x1=p[0].x,y1=p[0].y,x2=p[1].x,y2=p[1].y; p[0].x=x1,p[0].y=y2,p[1].x=x2,p[1].y=y1; } cout<<(calc_Matrix(p[1].x,p[1].y)-calc_Matrix(p[0].x-1,p[1].y)-calc_Matrix(p[1].x,p[0].y-1)+calc_Matrix(p[0].x-1,p[0].y-1))%mod<<endl; } return 0; } /* */
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