机器学习领域中所谓的降维就是指采用某种映射方法，将原高维空间中的数据点映射到低维度的空间中。降维的原因，在周志华《机器学习》中用最近邻分类器给了一个解释——数据集需要满足密采样条件，以及高维计算下会有很多麻烦，甚至在尾数特别高的时候连计算内积都变的复杂，这种计算阻碍称为“维数灾难”。其他的原因还有过滤噪音等。

多维缩放（MIDS）

假设样本数m（$X\in \mathbb{R}^{d*m}$），样本间的距离矩阵$D\in \mathbb{R}^{m*m}$，其第i行第j列的元素为$dist_{ij}$是$x_{i}$到$x_{j}$的距离。

这里降维的目标是得到样本在$d'\leq d$的$d'$维空间里的表示：$Z\in \mathbb{R}^{d'*m}$且任意两个样本之间的欧氏距离不变。即（$||z_{i}-z_{j}||=dist_{ij}$）

令内积矩阵$B=Z^{T}Z\in \mathbb{R}^{m*m}$，$b_{ij}=z_{i}^{T}z_{j}$有

$$ dist_{ij}^{2}=||z_{i}||^{2}+||z_{j}||^{2}-2z_{i}^{T}z_{j} $$

$$ =b_{ii}+b_{jj}-2b_{ij} $$

为便于计算，令Z被中心化，即质心在原点，则$\sum_{i=1}^{m}z_{i}=0$，则:

$$ \sum_{i=1}^{m}dist_{ij}^{2}=\sum_{i=1}^{m}b_{ii}+mb_{jj}-2\sum_{i=1}^{m}b_{ij} $$

$$ =tr(B)+mb_{jj} $$

$$ \sum_{j=1}^{m}dist_{ij}^{2}=tr(B)+mb_{ii} $$

$$ \sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{m}dist_{ij}^{2}=m tr(B)+m\sum_{j=1}^{m}b_{jj}=2m\ tr(B) $$

令

$$ dist_{i.}^{2}=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}dist_{ij}^{2} $$

$$ dist_{.j}^{2}=\frac{1}{m}\sum_{j=1}^{m}dist_{ij}^{2} $$

$$ dist_{..}^{2}=\frac{1}{m^{2}}\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{m}dist_{ij}^{2} $$

则可以由上式得：

$$ b_{ij}=-\frac{1}{2}(dist_{ij}^{2}-dist_{i.}^{2}-dist_{.j}^{2}+dist_{..}^{2}) $$

由此就可以在保持样本距离矩阵不变并求出内积矩阵B。

接下来求矩阵Z：

可以把B特征值分解为$B=V\Lambda V^{T},\Lambda =diag(\lambda_{1},\lambda_{2},...,\lambda_{d} )$（这是写到现在为止学了线代唯一还记得的:)）

特征值按从大到小排序，令$ \tilde{\Lambda}=diag(\lambda_{1},\lambda_{2},...,\lambda_{d'} ) $，因为降维后往往距离与原始距离尽可能接近，不必严格相等，所以只需取最大的$d'$个特征即可。而Z即可表达为：

$$ Z= \tilde{\Lambda}^{\frac{1}{2}}\tilde{V}^{T}\in \mathbb{R}^{d'*m} $$

求出Z矩阵后，MIDS也就结束了。如果Z满足$Z=W^{T}X,W\in\mathbb{R}^{d*d'}$，则此变换为线性变换。

主成分分析(PCA)

将d维的样本降维至d’维，相当于用一个d'维超平面让所有人样本点投影到这个超平面上。而为了使这个超平面尽可能完整的表达样本点的性质，被削减的维度部分的偏离程度必然要尽可能的小。

两个性质：

• 最近重构性：样本点到这个超平面的距离尽可能近
• 最大可分性：样本点在在这个超平面上的投影尽可能展开（方差尽可能大）

从这两个性质出发，都可以推导出同样的结果，从最大可分性出发：
$z_{i}=Wx_{i}$,则为了方差最大化，求：

$$ \underset{W}{max} \ \sum_{i}z_{i}z_{i}^{T}=max \sum_{i}W^{T}x_{i}x_{i}^{T}W $$

则，优化目标可以写成：

$$ \underset{W}{max} \ tr(W^{T}XX_{T}W) $$

因为不关心W大小，只关心超平面的方向，故默认W为单位矩阵
运用拉格朗日乘数法，得到

$$ XX^{T}\omega_{i}=\lambda_{i}\omega_{i} $$

最后，对协方差矩阵$XX^{T}$进行特征值分解，即可得到d'个按大小排序的特征值$\lambda_{1},...,\lambda_{d'}$以及对应的特征向量$W^{*}=(\omega_{1},...,\omega_{d'})$也就是主成分分析的解。

降维的个数由使用者决定。

多维缩放和主成分分析看上去方法还挺相似的，都是保留最大的d'个特征值，那么矩阵的秩也变为d',势必会舍弃一部分信息来做到降维，而这部分微量信息也往往和噪声有关，它们的舍弃一定程度上能达到去躁的效果。

李政轩老师的PCA和KPCA讲解视频，非常详细易懂http://www.powercam.cc/slide/6553
核化PCA（KPCA）
假设$z_{i}$是样本点$x_{i}$在高维空间的像，即通过映射$\phi$，即$z_{i}=phi(x_{i})，i=1,2,...,m$。

则由上述结果可得，新的式子为

$$ ZZ^{T}\omega_{i}=\lambda_{i}\omega_{i} $$

可得

$$ \omega_{j}=\frac{1}{\lambda_{j}}\left(\sum_{i=1}^{m}z_{i}z_{i}^{T}\right)\omega_{j}=\sum_{i=1}^{m}z_{i}\frac{z_{i}^{T}\omega_{j}}{\lambda_{j}} $$

$$ =\sum_{i=1}^{m}z_{i}\alpha_{i}^{j} $$

其中$\alpha_{i}^{j}=\frac{1}{\lambda_{j}}z_{i}^{T}\omega_{j}$
因为不清楚$\phi$的具体形式，于是引入核函数：

$$ \kappa(x_{i},x_{j})=\phi(x_{i})^{T}\phi(x_{j}) $$

由上式可以得到

$$ K\alpha^{j}=\lambda_{j}\alpha^{j} $$

$K$为$\kappa$对应的核矩阵

同样，这也是特征值分解问题，解出最大的d'个特征值对应的特征向量即可。

个人更推荐观看李政轩的讲解视频，推导过程也更为清晰，这里的过程是参考周志华《机器学习》的，矩阵的行列关系没有细说，看起来容易似懂不懂。