当今社会，智能手机的飞速发展。使得可以做到人手一部智能手机。而各种应用层出不穷。
手游（手机游戏）的出现，满足了人们对打发碎片时间的需求。
而在游戏中，宝物升级是最常见的剧情元素之一。而优秀的游戏设计师，在设计宝物升级系统时，要难易适中，要能把用户黏合在自己的游戏中，既不能太难，也不能太简单。那么如何设计宝物升级中的各项参数就是重中之重。
本文重点介绍，给定宝物的设计系统的各项参数，计算宝物升级所需的资源数。
问题：
某宝物初始是0级，现在要升级
从0级升到1级，所需的资源数为1，成功概率为90%，成功升1级，失败还是0级；
从1级升到2级，所需的资源数为2，成功概率为80%，成功升1级，失败降1级，降为0级；
从2级升到3级，所需的资源数为3，成功概率为70%，成功升1级，失败降1级，降为1级；
从3级升到4级，所需的资源数为4，成功概率为60%，成功升1级，失败降1级，降为2级；
从4级升到5级，所需的资源数为5，成功概率为50%，成功升1级，失败降1级，降为3级；
问：某宝物从0级升级到5级，所需要的资源数平均是多少？
定义一个函数F（N，M），M≥N。表示该宝物从N级升级到M级所需的平均资源数。本题中就是计算F（0，5）
很明显
F（N，N）=0；即F（0，0）=0，F（1，1）=0
F（N，M）=F（N，K）+F（K，M），N≤K≤M，F（0，4）=F（0，2）+F（2，4），即F（2，4）=F（0，4）-F（0，2）
用简便表示函数F（N），即F（N）=F（0，N），那么本题就是计算F（5）
定义PN，为从N-1级升到N级的成功的概率
本题中，P1=0.9，P2=0.8，P3=0.7，P4=0.6，P5=0.5
定义LN，为从N-1级升到N级所需的资源数
本题中，N1=1，N2=2，N3=3，N4=4，N5=5
言归正传，下面分析如何计算F（N）
先分析F（1）
从0级升到1级，所需的资源数为L1。其中（1-P1）的会失败，还是停留在0级，这些还是需要从0级升到1级。那么，就有个分析公式
F（1）=L1+（1-P1）×F（1）
F（1）=L1÷P1=1÷0.9=1.111
再分析F（2）
从1级升到2级，所需的资源数为L2。其中（1-P2）的会失败，降级到0级，这些还是需要从0级升到2级。那么，就有个分析公式
F（2）=F（1）+L2+（1-P2）×F（2）
F（2）=（F（1）+L2）÷P2=（1.111+2）÷0.8=3.889
再分析F（3）
从2级升到3级，所需的资源数为L3。其中（1-P3）的会失败，降级到1级，这些还是需要从1级升到3级。那么，就有个分析公式
F（3）=F（2）+L3+（1-P3）×F（1，3）
F（3）=F（2）+L3+（1-P3）×（F（3）-F（1））
F（3）=（F（2）+L3-（1-P3）×F（1））÷P3
F（3）=（3.889+3-（1-0.7）×1.111）÷0.7=9.365
再分析F（4）
从3级升到4级，所需的资源数为L4。其中（1-P4）的会失败，降级到2级，这些还是需要从2级升到4级。那么，就有个分析公式
F（4）=F（3）+L4+（1-P4）×F（2，4）
F（4）=F（3）+L4+（1-P4）×（F（4）-F（2））
F（4）=（F（3）+L4-（1-P4）×F（2））÷P4
F（4）=（9.365+4-（1-0.6）×3.889）÷0.6=19.682
再分析F（5）
从4级升到5级，所需的资源数为L5。其中（1-P5）的会失败，降级到3级，这些还是需要从3级升到5级。那么，就有个分析公式
F（5）=F（4）+L5+（1-P5）×F（3，5）
F（5）=F（4）+L5+（1-P5）×（F（5）-F（3））
F（5）=（F（4）+L5-（1-P5）×F（3））÷P5
F（5）=（19.682+5-（1-0.5）×9.365）÷0.5=39.999
结论是
从0级升到1级，平均所需的资源数为P（1）=1.111
从0级升到2级，平均所需的资源数为P（2）=3.889
从0级升到3级，平均所需的资源数为P（3）=9.365
从0级升到4级，平均所需的资源数为P（4）=19.682
从0级升到5级，平均所需的资源数为P（5）=39.999
下面是通过计算机模拟宝物升级的过程，并做了统计，再求平均数。一共做了五组，每组1000000次。
| 理论值 | 第1组 | 第2组 | 第3组 | 第4组 | 第5组 | |
| P（1） | 1.111 | 1.111 | 1.111 | 1.111 | 1.111 | 1.111 |
| P（2） | 3.889 | 3.889 | 3.890 | 3.890 | 3.889 | 3.889 |
| P（3） | 9.365 | 9.367 | 9.365 | 9.368 | 9.363 | 9.364 |
| P（4） | 19.682 | 19.685 | 19.690 | 19.692 | 19.681 | 19.682 |
| P（5） | 39.999 | 40.000 | 40.002 | 40.001 | 39.996 | 39.988 |
从上表的数据来看，理论值和实际统计值差别不大了。说明我们分析的理论值是合理的。
综述：
F（1）=L1÷P1
F（N）=（F（N-1）+LN-（1-PN）×F（N-2））÷PN，当N≥2时。
再给一题：
某宝物初始是0级，现在要升级
从0级升到1级，所需的资源数为1，成功概率为100%，成功升1级；
从1级升到2级，所需的资源数为2，成功概率为85%，成功升1级，失败不降级；
从2级升到3级，所需的资源数为3，成功概率为75%，成功升1级，失败不降级；
从3级升到4级，所需的资源数为4，成功概率为65%，成功升1级，失败不降级；
从4级升到5级，所需的资源数为5，成功概率为55%，成功升1级，失败降1级，降为3级；
从5级升到6级，所需的资源数为6，成功概率为45%，成功升1级，失败降1级，降为4级；
从6级升到7级，所需的资源数为7，成功概率为35%，成功升1级，失败降1级，降为5级；
从7级升到8级，所需的资源数为8，成功概率为25%，成功升1级，失败降1级，降为6级；
从8级升到9级，所需的资源数为9，成功概率为20%，成功升1级，失败降1级，降为7级；
从9级升到10级，所需的资源数为10，成功概率为15%，成功升1级，失败降1级，降为8级；
问：某宝物从0级升级到10级，所需要的资源数平均是多少？
本文转自万仓一黍博客园博客，原文链接：http://www.cnblogs.com/grenet/p/4303266.html，如需转载请自行联系原作者
