概念~
二叉查找树（英语：Binary Search Tree），也称二叉搜索树、有序二叉树（英语：ordered binary tree），排序二叉树（英语：sorted binary tree），是指一棵空树或者具有下列性质的二叉树：
- 若任意节点的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；
- 若任意节点的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；
- 任意节点的左、右子树也分别为二叉查找树；
- 没有键值相等的节点。
优势~O(log n)
二叉查找树相比于其他数据结构的优势在于查找、插入的时间复杂度较低——为O(log n)。
二叉查找树是基础性数据结构，用于构建更为抽象的数据结构，如集合、multiset、关联数组等。
二叉查找树的查找过程和次优二叉树类似，通常采取二叉链表作为二叉查找树的存储结构。中序遍历二叉查找树可得到一个关键字的有序序列，一个无序序列可以通过构造一棵二叉查找树变成一个有序序列，构造树的过程即为对无序序列进行查找的过程。每次插入的新的结点都是二叉查找树上新的叶子结点，在进行插入操作时，不必移动其它结点，只需改动某个结点的指针，由空变为非空即可。
搜索、插入、删除的复杂度等于树高，期望
，最坏（数列有序，树退化成线性表）。
虽然二叉查找树的最坏效率是O(n)，但它支持动态查询，且有很多改进版的二叉查找树可以使树高为,如SBT,AVL树，红黑树等。
故不失为一种好的动态查找方法。
其中C++的STL中的set就是使用的红黑树作为存储结构的（ps：hash_set使用的是hash_table作为存储结构）
Search BST
在二叉搜索树b中查找x的过程为：
- 若b是空树，则搜索失败，否则：
- 若x等于b的根节点的数据域之值，则查找成功；否则：
- 若x小于b的根节点的数据域之值，则搜索左子树；否则：
- 查找右子树。
1 /* 以下代码为C++写成，下同*/ 2 Status SearchBST(BiTree T, KeyType key, BiTree f, BiTree &p){ 3 //在根指针T所指二元查找樹中递归地查找其關键字等於key的數據元素，若查找成功， 4 //則指针p指向該數據元素節點，并返回TRUE，否則指针指向查找路徑上訪問的最後 5 //一個節點并返回FALSE，指针f指向T的雙親，其初始调用值為NULL 6 if(!T) { //查找不成功 7 p=f; 8 return false; 9 } 10 else if (key == T->data.key) { //查找成功 11 p=T; 12 return true; 13 } 14 else if (key < T->data.key) //在左子樹中繼續查找 15 return SearchBST(T->lchild, key, T, p); 16 else //在右子樹中繼續查找 17 return SearchBST(T->rchild, key, T, p); 18 }
InsertBST
向一个二叉搜索树b中插入一个节点s的算法，过程为：
- 若b是空树，则将s所指结点作为根节点插入，否则：
- 若s->data等于b的根节点的数据域之值，则返回，否则：
- 若s->data小于b的根节点的数据域之值，则把s所指节点插入到左子树中，否则：
- 把s所指节点插入到右子树中。（新插入节点总是叶子节点）
1 /*当二元搜尋樹T中不存在关键字等于e.key的数据元素时，插入e并返回TRUE，否则返回FALSE*/ 2 Status InsertBST(BiTree *T, ElemType e){ 3 if(!T) 4 { 5 s = new BiTNode; 6 s->data = e; s->lchild = s->rchild = NULL; 7 T=s; //被插節点*s为新的根结点 8 } 9 else if(e.key == p->data.key) 10 return false;//关键字等于e.key的数据元素，返回錯誤 11 if (e.key < p->data.key) 12 InsertBST(p->lchild, e); //將e插入左子樹 13 else 14 InsertBST(p->rchild, e); //將e插入右子樹 15 return true; 16 }
DeleteBST
在二叉查找树删去一个结点，分三种情况讨论：
- 若*p结点为叶子结点，即PL（左子树）和PR（右子树）均为空树。由于删去叶子结点不破坏整棵树的结构，则只需修改其双亲结点的指针即可。
- 若*p结点只有左子树PL或右子树PR，此时只要令PL或PR直接成为其双亲结点*f的左子树（当*p是左子树）或右子树（当*p是右子树）即可，作此修改也不破坏二叉查找树的特性。
- 若*p结点的左子树和右子树均不空。在删去*p之后，为保持其它元素之间的相对位置不变，可按中序遍历保持有序进行调整，可以有两种做法：其一是令*p的左子树为*f的左/右（依*p是*f的左子树还是右子树而定）子树，*s为*p左子树的最右下的结点，而*p的右子树为*s的右子树；其二是令*p的直接前驱（in-order predecessor）或直接后继（in-order successor）替代*p，然后再从二叉查找树中删去它的直接前驱（或直接后继）。
在二叉查找树上删除一个结点的算法如下：
1 Status DeleteBST(BiTree *T, KeyType key){ 2 //若二叉查找树T中存在关键字等于key的数据元素时，则删除该数据元素，并返回 3 //TRUE；否则返回FALSE 4 if(!T) 5 return false; //不存在关键字等于key的数据元素 6 else{ 7 if(key == T->data.key) { // 找到关键字等于key的数据元素 8 return Delete(T); 9 } 10 else if(key < T->data.key) 11 return DeleteBST(T->lchild, key); 12 else 13 return DeleteBST(T->rchild, key); 14 } 15 } 16 17 Status Delete(BiTree *p){ 18 //该节点为叶子节点，直接删除 19 BiTree *q, *s; 20 if (!p->rchild && !p->lchild) 21 { 22 delete p; 23 p = NULL; 24 } 25 else if(!p->rchild){ //右子树空则只需重接它的左子树 26 q=p->lchild; 27 p->data = p->lchild->data; 28 p->lchild=p->lchild->lchild; 29 p->rchild=p->lchild->rchild; 30 31 delete q; 32 } 33 else if(!p->lchild){ //左子树空只需重接它的右子树 34 q=p->rchild; 35 p->data = p->rchild->data; 36 p->lchild=p->rchild->lchild; 37 p->rchild=p->rchild->rchild; 38 39 delete q; } 40 else{ //左右子树均不空 41 q=p; 42 s=p->lchild; 43 while(s->rchild){ 44 q=s; 45 s=s->rchild; 46 } //转左，然后向右到尽头 47 p->data = s->data; //s指向被删结点的“前驱” 48 if(q!=p) 49 q->rchild = s->lchild; //重接*q的右子树 50 else 51 q->lchild = s->lchild; //重接*q的左子树 52 delete s; 53 } 54 return true; 55 }
Python版
binary_tree_delete
1 def find_min(self): # Gets minimum node (leftmost leaf) in a subtree 2 current_node = self 3 while current_node.left_child: 4 current_node = current_node.left_child 5 return current_node 6 7 def replace_node_in_parent(self, new_value=None): 8 if self.parent: 9 if self == self.parent.left_child: 10 self.parent.left_child = new_value 11 else: 12 self.parent.right_child = new_value 13 if new_value: 14 new_value.parent = self.parent 15 16 def binary_tree_delete(self, key): 17 if key < self.key: 18 self.left_child.binary_tree_delete(key) 19 elif key > self.key: 20 self.right_child.binary_tree_delete(key) 21 else: # delete the key here 22 if self.left_child and self.right_child: # if both children are present 23 successor = self.right_child.find_min() 24 self.key = successor.key 25 successor.binary_tree_delete(successor.key) 26 elif self.left_child: # if the node has only a *left* child 27 self.replace_node_in_parent(self.left_child) 28 elif self.right_child: # if the node has only a *right* child 29 self.replace_node_in_parent(self.right_child) 30 else: # this node has no children 31 self.replace_node_in_parent(None)
in-order-traversal
1 def traverse_binary_tree(node, callback): 2 if node is None: 3 return 4 traverse_binary_tree(node.leftChild, callback) 5 callback(node.value) 6 traverse_binary_tree(node.rightChild, callback)
构造一颗二叉排序树（）
1 def build_binary_tree(values): 2 tree = None 3 for v in values: 4 tree = binary_tree_insert(tree, v) 5 return tree 6 7 def get_inorder_traversal(root): 8 ''' 9 Returns a list containing all the values in the tree, starting at *root*. 10 Traverses the tree in-order(leftChild, root, rightChild). 11 ''' 12 result = [] 13 traverse_binary_tree(root, lambda element: result.append(element)) 14 return result
每个结点的为该结点的层次数。最坏情况下，当先后插入的关键字有序时，构成的二叉查找树蜕变为单支树，树的深度为，其平均查找长度为（和顺序查找相同），最好的情况是二叉查找树的形态和折半查找的判定树相同，其平均查找长度和成正比（）。
本文转自ZH奶酪博客园博客，原文链接：http://www.cnblogs.com/CheeseZH/p/5283510.html，如需转载请自行联系原作者
