一，问题描述
给定一个序列，求解它的最长 递增 子序列 的长度。比如： arr[] = {3,1,4,1,5,9,2,6,5} 的最长递增子序列长度为4。即为：1,4,5,9
二，算法分析
有两种方式来求解，一种是转化为LCS问题。即，首先对数组排序，将排序后的结果存储在辅助数组中。排序时间复杂度O(NlogN)，排序后的数组与原数组组成了LCS（N,N）问题。解决LCS问题的时间复杂度为O(N^2)，故整个算法的时间复杂度为O(N^2)，空间复杂度为O(N)
另一种方式是直接用DP求解，算法如下：时间复杂度为O(N^2)
①最优子问题
设lis[i] 表示索引为 [0...i] 上的数组上的 最长递增子序列。初始时，lis[i]=1，注意，在DP中，初始值是很重要的，它是整个算法运行正确的关键。而初始值 则可以 通过 画一个小的示例来 确定。
当 arr[i] > arr[j]，lis[i] = max{lis[j]}+1 ；其中，j 的取值范围为：0,1...i-1
当 arr[i] < arr[j]，lis[i] = max{lis[j]} ；其中，j 的取值范围为：0,1...i-1
②重叠子结构
从上面可以看出，计算 lis[i]时，需要计算 lis[j]，其中 j < i，这说明有重叠子问题。借用网路中一张图如下：
lis(4)
/ | \
lis(3) lis(2) lis(1)
/ \ /
lis(2) lis(1) lis(1)
/
lis(1)
而初始值 则可以 通过 画一个小的示例来 确定。
参考资料：
三，代码实现
错误版本1：
1 private static int lis(int[] arr, int length){ 2 int lis[] = new int[length]; 3 4 //init 5 for(int i = 0; i < length; i++) 6 lis[i] = 1; 7 8 for(int i = 1; i < length; i++) 9 { 10 for(int j = 0; j < i; j++) 11 { 12 13 if(arr[i] > arr[j]) 14 { 15 if(lis[j] + 1 > lis[i]) 16 lis[i] = lis[j] + 1; 17 } 18 else{ 19 if(lis[j] > lis[i]) 20 lis[i] = lis[j]; 21 } 22 } 23 } 24 return lis[length - 1]; 25 }
第13行if语句会导致bug，arr[i]要大于 j belongs to 0,1,...i-1 中所有的 arr[j]中的最大值，并且 lis[i] 是该最大值 arr[j] 所对应的 lis[j] +1，而不是某个其他的arr[j] 对应的 lis[j]+1
正确完整版本：
public class LIS { public static int lis(int[] arr){ if(arr == null || arr.length == 0) return 0; return lis(arr, arr.length); } private static int lis(int[] arr, int length){ int lis[] = new int[length]; //init for(int i = 0; i < length; i++) lis[i] = 1; for(int i = 1; i < length; i++) { for(int j = 0; j < i; j++) { // lis[i]=max{lis[i-1], lis[i-1]+1} if(arr[i] > arr[j] && lis[j] + 1 > lis[i]) lis[i] = lis[j] + 1; } } int max = lis[0]; for(int i = 1; i < length; i++) if(max < lis[i]) max = lis[i]; return max; } public static void main(String[] args) { int[] arr = {3,1,4,1,5,9,2,6,5}; int result = lis(arr); System.out.println(result); } }本文转自hapjin博客园博客，原文链接：http://www.cnblogs.com/hapjin/p/5597658.html，如需转载请自行联系原作者
