一，问题描述
有个小孩上楼梯，共有N阶楼梯，小孩一次可以上1阶，2阶或者3阶。走到N阶楼梯，一共有多少种走法？
二，问题分析
DP之自顶向下分析方式：
爬到第N阶楼梯，一共只有三种情况(全划分，加法原理)，从第N-1阶爬1阶到第N阶；从第N-2阶爬2阶到第N阶；从第N-3爬3阶到第N阶。
故：way(N)=way(N-1)+way(N-2)+way(N-3)
这与求Fib数列非常相似，当然，其他类似的问题也可以这样求解。
初始条件：
way(1)=1
way(2)=2
way(3)=4
三，代码实现
public class WaysOfLadder { public static int ways(int n){ if(n <= 0) throw new IllegalArgumentException(); return waysLadder(n); } //递归算法爬上第n阶楼梯一共需要多少种方式 private static int waysLadder(int n){ assert n > 0; //base condition if(n == 1) return 1; if(n == 2) return 2; if(n == 3) return 4; else return waysLadder(n-1) + waysLadder(n - 2) + waysLadder(n - 3); } //dp public static int ways_dp(int n){ if(n <= 0) throw new IllegalArgumentException(); int pre_1 = 1; int pre_2 = 2; int pre_3 = 4; int res = 0; for(int i = 4; i <= n; i++) { res = pre_1 + pre_2 + pre_3; pre_1 = pre_2; pre_2 = pre_3; pre_3 = res; } return res; } public static void main(String[] args) { int n = 32; System.out.println(ways_dp(n)); System.out.println(ways(n)); } }
上面代码清晰地对比了DP实现与递归实现的方式。DP是用三个变量保存当前计算的结果，当计算下一个结果时，先“查表”再计算。而递归则是使用三个递归函数调用，递归函数调用计算了大量的重叠的子问题，每次递归调用都要压栈、出栈。递归的时间复杂度为O(3^N)，而DP的时间复杂度为O(N)
类似的思想，还有计算杨辉三角的公式：C(n,r)=C(n-1,r) + C(n-1,r-1)具体可参考：
只不过杨辉三角的计算公式有两个参数而已。
另外，相关问题可参考：组合问题与动态规划的联系之应用
本文转自hapjin博客园博客，原文链接：http://www.cnblogs.com/hapjin/p/5699494.html，如需转载请自行联系原作者
