Max Sum Plus Plus
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Given a consecutive number sequence S 1, S 2, S 3, S 4 ... S x, ... S n (1 ≤ x ≤ n ≤ 1,000,000, -32768 ≤ S x ≤ 32767). We define a function sum(i, j) = S i + ... + S j (1 ≤ i ≤ j ≤ n).
Now given an integer m (m > 0), your task is to find m pairs of i and j which make sum(i 1, j 1) + sum(i 2, j 2) + sum(i 3, j 3) + ... + sum(i m, j m) maximal (i x ≤ i y ≤ j x or i x ≤ j y ≤ j x is not allowed).
But I`m lazy, I don't want to write a special-judge module, so you don't have to output m pairs of i and j, just output the maximal summation of sum(i x, j x)(1 ≤ x ≤ m) instead. ^_^
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1 3 1 2 3 2 6 -1 4 -2 3 -2 3
【问题描述】----最大M子段和问题
给定由 n个整数（可能为负整数）组成的序列a1，a2，a3，……，an，以及一个正整数 m，要求确定序列 a1，a2，a3，……，an的 m个不相交子段，
使这m个子段的总和达到最大，求出最大和。
题解：转自http://www.cnblogs.com/peng-come-on/archive/2012/01/15/2322715.html
动态规划的思想。
1.基本思路：
首先，定义数组num[n],dp[m][n].
num[n]用来存储n个整数组成的序列.
dp[i][j]用来表示由前 j项得到的含i个字段的最大值，且最后一个字段以num[j]项结尾。仔细想想，我们可以知道：
dp[i][j]=max(dp[i][j-1]+num[j],dp(i-1,t)+num[j]) 其中i-1<=t<=j-1.
(因为必须是以 num[j] 结尾的，所以num[j]一定属于最后一个子段，即要么自己独立成一个子段，要么与前边以num[j-1]结尾的子段联合)
所求的最后结果为 max( dp[m][j] ) 其中1<=j<=n.
但是，我们会发现，当n非常大时，这个算法的时间复杂度和空间复杂度是非常高的,时间复杂度近似为O(m*n^2),
空间复杂度近似为O(m*n).因此，我们需要优化算法来降低时间复杂度和空间复杂度.
2.优化算法：
(1)节省时间
由基本思路，我们可以知道，dp[i][j]=max(dp[i][j-1]+num[j],dp(i-1,t)+num[j])，其中i-1<=t<=j-1.我们只要找到dp[i][j-1]
和dp[i-1][t]的最大值加上num[j]即为dp[i][j].所以，定义一个数组pre_max[n]，用pre_max[j-1]来表示求解dp[i][j]时dp[i-1][t]
的最大值,则dp[i][j]=max(pre_max[j-1],dp[i][j-1])+num[j].
特别注意，pre_max[n]这个位置的存储空间是始终用不到的，因此可以用来存储其他数值，在接下来会用到。
在求解dp[i][j]的同时，我们可以计算出dp[i][t];i<=t<=j的最大值，这个最大值在计算dp[i+1][j+1]的时候需要作为pre_max[j]的
形式被使用，我们先把它存在pre_max[n]中。
你可能会问：为什么不把它直接放在pre_max[j]中呢？因为你接下来需要计算dp[i][j+1]的值，需要用到pre_max[j]中原来的值，
如果你把它存在这里，就会覆盖掉计算dp[i][j+1]所需要的那个值。所以，先把它放在pre_max[n]中。
当我们计算完dp[i][j+1]之后，就会发现pre_max[j]中的值已经没有用处了，我们可以把它更新为计算dp[i+1][j+1]所需要的那个值，
即之前放在pre_max[n]中的那个值，即执行pre_max[j]=pre_max[n].
这样我们就节省了计算最大值时付出的时间代价。
(2)节省空间
通过时间的节省，我们突然间发现程序执行结束后pre_max[n]的值即为最后的结果，pre_max[n]数组才是我们希望求解的，
dp[m][n]这个庞大的数组已经不是那么重要了，因此，我们现在用整型数tmp来代替dp[m][n]，用来临时存储dp[i][j]的值，
作为求解pre_max[n]的中介。
这样就节省了dp[i][j]占用的极大的空间.
代码一：
1 #include <cstdio> 2 #include <iostream> 3 const int MAX = 1000005; 4 5 using namespace std; 6 7 int num[MAX], pre_max[MAX]; 8 9 inline int max(int a, int b) 10 { 11 return a > b ? a : b; 12 } 13 14 int DP(int n, int m) 15 { 16 for(int i = 1; i <= m; ++i) 17 { 18 /*****初始化*****/ 19 int tmp = 0; 20 for(int k = 1; k <= i; ++k) 21 tmp += num[k]; 22 pre_max[n] = tmp; 23 24 for(int j = i+1; j <= n; ++j) 25 { 26 tmp = max(pre_max[j-1], tmp) + num[j]; 27 pre_max[j-1] = pre_max[n]; 28 pre_max[n] = max(pre_max[n], tmp); 29 } 30 } 31 return pre_max[n]; 32 } 33 34 int main() 35 { 36 int n, m; 37 while(~scanf("%d%d", &m, &n)) 38 { 39 for(int i = 1; i <= n; ++i) 40 { 41 scanf("%d", &num[i]); 42 pre_max[i] = 0; 43 } 44 printf("%d\n", DP(n, m)); 45 } 46 return 0; 47 }
代码二：（讨论区粘的）
1 #include<iostream> 2 #include<climits> 3 #include<cstring> 4 #include<cstdio> 5 #include<cstdlib> 6 using namespace std; 7 int max(int *a,int m,int n) 8 { 9 int *c; 10 int *p; 11 int max, i, j; 12 c=new int[n+1]; 13 p=new int[n+1]; 14 for(i=0; i<n+1; i++) 15 p[i]=0; 16 c[0]=0; 17 for(i=1; i<=m; ++i) 18 { 19 max=INT_MIN; 20 for(j = i; j <= n; ++j) 21 { 22 if(c[j-1]< p[j-1]) 23 c[j]= p[j-1]+a[j-1]; 24 else 25 c[j]=c[j-1]+a[j-1]; 26 p[j-1]=max; 27 if(max<c[j]) 28 max=c[j]; 29 } 30 p[j-1]=max; 31 } 32 delete []p; 33 delete []c; 34 return max; 35 } 36 int main() 37 { 38 int n,m,i,*d; 39 while(cin>>m>>n) 40 { 41 d=new int[n]; 42 for(i=0;i<n;++i) 43 cin>>d[i]; 44 cout<<max(d, m, n)<<endl; 45 delete [] d; 46 } 47 return 0; 48 }
现在演示一下转移过程。如何求下图的框中的元素的值
由下面涂色的元素的最大值加上a[3]=-2求的如下图
最大的是4，所以4+（-2）=2；框中填2;
1 #include<stdio.h> 2 __int64 dp[2][1000001]; 3 __int64 a[1000001]; 4 __int64 b[1000001]; 5 __int64 res; 6 int n,m; 7 __int64 Max(__int64 x,__int64 y) 8 { 9 if(x>y)return x; 10 else return y; 11 } 12 int main() 13 { 14 15 // freopen("a.txt","r",stdin); 16 while(scanf("%d%d",&m,&n)!=EOF) 17 { 18 int t=1; 19 res=0; 20 int i,j,k; 21 for(i=1;i<=n;i++){b[i]=0;dp[0][i]=dp[1][i]=0;scanf("%I64d",&a[i]);} 22 for(i=1;i<=m;i++) 23 { 24 dp[t][i]=dp[1-t][i-1]+a[i]; 25 __int64 max=dp[1-t][i-1]; 26 for(j=i+1;j<=n-m+i;j++) 27 { 28 max=Max(max,dp[1-t][j-1]); 29 dp[t][j]=Max(dp[t][j-1],max)+a[j]; 30 } 31 t=1-t; 32 } 33 t=1-t; 34 res=-1111111111111; 35 for(j=m;j<=n;j++)if(res<dp[t][j])res=dp[t][j]; 36 printf("%I64d\n",res); 37 } 38 39 return 0; 40 }
下面给出详解代码：
1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 using namespace std; 4 const int MAX=1000001; 5 int dp[2][MAX]; 6 int w[MAX]; 7 int sum[MAX];//不做不知道，一做吓一跳，原来在主函数里开个sum[MAX]，是不行的，因为MAX是在太大！ 8 9 /*这是我的老师贴出的提示！现在才理解到内涵！ 10 11 VC定义数组时请注意大小!定义时,局部数组大小<=1MB,全局数组<=2GB,定义时如果超过这个限制将会出现如"segment error"之类的错误.以下的程序可以帮助你证明这一点. 12 13 以下程序数组如果再大点，运行出错，说明局部变量分配内存<=1MB 14 #include<stdio.h> 15 int main() 16 { 17 int a[1024*1024/4-4000]; 18 int i; 19 for(i=0;i<1024*1024/4-4000;i++) 20 { 21 a[i]=i; 22 printf("%d\n",a[i]); 23 } 24 return 0; 25 } 26 27 以下程序数组如果再大点，运行出错，说明全局变量分配内存<=2GB 28 #include<stdio.h> 29 int a[1024*1024*470]; 30 int main() 31 { 32 long int i; 33 for(i=0;i<1024*1024*470;i++) 34 { 35 a[i]=i; 36 printf("%d\n",a[i]); 37 } 38 return 0; 39 } 40 41 42 内存的三种分配方式：静态存储区分配，栈上分配，堆上分配。 全局数组是在静态存储区分配,而局部数组是在栈上分配,所以大小受到的限制不一样. 43 */ 44 45 int cmax(int a,int b)//求最大值 46 { 47 return a>b?a:b; 48 } 49 50 int main() 51 { 52 int i,k; 53 int m,n; 54 55 while(scanf("%d%d",&m,&n)>0) 56 { 57 sum[0]=0; 58 for(i=1;i<=n;i++) 59 { 60 cin>>k; 61 sum[i]=sum[i-1]+k;//sum[i]里存的是前i个元素的和 62 dp[0][i]=0;//从前i个元素中取0段，最大值为0 63 } 64 //我们假设a[i]中存放该序列第i个值，w[i][k]表示前k个数分为i段，第k个数必须选这种情况下取得的最大值 65 //b[i][k]表示在前k个数中取i段这种情况下取得的最大值 66 67 //w[i][k]：前k个数分为i段，第k个数必须选；1：第k个数单独为1段；2：第k个数与前面的数连一块。w[i][k]=max(b[i-1][k-1],w[i][k-1])+a[k]; 68 //b[i][k]：前k个数分为i段，第k个数可选可不选；1：选第k个数，2：不选第k个数。b[i][k]=max(b[i][k-1],w[i][k]) 69 //w[i][k]=max(b[i-1][k-1],w[i][k-1])+a[k]; 70 //b[i][k]=max(b[i][k-1],w[i][k])； 71 //w[i][k],b[i][i]容易求得，所以由b[i-1][k-1]->w[i][k]->b[i][k],只要知道b[0][k]，全部都能成功运行！ 72 73 //当从k个元素中取j段，可以分为两种情况，即第k个元素可以取，也可以不取，取，那么a[k]要么是单独为一段b[i-1][k-1]+a[k]; 74 //要么是第k个数与前面的数连一块，即w[i][k-1]+a[k]，故w[i][k]=max(b[i-1][k-1],w[i][k-1])+a[k]; 75 76 //要么不取 即b[i][k]=b[i][k-1]; 77 //综合起来，b[i][k]=max(b[i][k-1],w[i][k])； 78 int t=1; 79 for(i=1;i<=m;i++)//i表示在取i段,自然i<=m; 80 { 81 82 for(k=i;k<=n;k++)//为什么k从i开始？dp[i][k](k<i)是没有意义的！ 83 { 84 if(i==k) 85 dp[t][k]=w[k]=sum[k];//从k个数中取k段的最大值是前k个数的和 86 else 87 { 88 w[k]=cmax(dp[1-t][k-1],w[k-1])+sum[k]-sum[k-1];//w[k]表示k个元素取i段，a[k]必须取时的最大值 89 //w[i][k]=max(b[i-1][k-1],w[i][k-1])+a[k]; 90 dp[t][k]=cmax(dp[t][k-1],w[k]);//dp[t][k]表示在a[k]可取可不取这两种情况下取得的最大值 91 //自然，dp[t][k]记录的就是在前k个元素中取i段时取得的最大值！ 92 } 93 } 94 t=1-t;//t在1,0之间交替变换 95 //为什么要交替呢？这是为了节省空间 96 //仔细观察递归式 97 //w[i][k]=max(b[i-1][k-1],w[i][k-1])+a[k]; 98 //b[i][k]=max(b[i][k-1],w[i][k])； 99 //我们发现，对于取i段，w[i][j]只与b[i-1][k-1]和w[i][k-1]有关，与之前的那一些项没有关系 100 //因此我们数组可以开小一点，用更新来覆盖掉前面的值！ 101 } 102 cout<<dp[m%2][n]<<endl;//奇次轮还是偶次轮 103 104 } 105 system("pause"); 106 return 0; 107 }
