题目： 发信人: wonuvy (日格一物百合帮米米坛之九五二七), 板面: ZJUOnline
标 题: 初中数学题，急问
发信站: 飘渺水云间 (Fri Jan 25 16:16:43 2008), 转信
从2的0次方，到2的2008次方这2009个数字里，有多少个数字的最高位是1？
请给出答案，并证明。
对于此问题，当然是指10进制，那些投机的和不重要的回帖掠过，我们看回帖中的几个重要结论：
最先给出答案的帖子：
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发信人: Izual (再睡五分钟～真的！), 板面: ZJUOnline
标 题: Re: 初中数学题，急问
发信站: 飘渺水云间 (Fri Jan 25 16:32:31 2008), 站内信件
也就是问2^2008有多少位。
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发信人: Izual (再睡五分钟～真的！), 板面: ZJUOnline
标 题: Re: 初中数学题，急问
发信站: 飘渺水云间 (Fri Jan 25 16:35:06 2008), 站内信件
不管2^n是什么数字开头
2^(n+1)要么位数和2^n相同，如果多一位肯定是1开头。
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上面的回帖给出了对答案的解释。因为在相同位数的2^n中，只有第一个数字的首位可能是1。其他后续数字在不升位的情况下，无论怎么样都不可能重现1开头。因此，我们只要统计有多少次升位即可。因此问题转化为，最后一个数字有多少位。
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发信人: Izual (再睡五分钟～真的！), 板面: ZJUOnline
标 题: Re: 初中数学题，急问
发信站: 飘渺水云间 (Fri Jan 25 16:41:33 2008), 站内信件
1+2008lg2取整很复杂么
【 在 justee (ee) 的大作中提到: 】
: 其实你们把问题复杂化了，最后一个数字的位数的问题，比原题要复杂。。?
: 【 在 hoodlum (fafa) 的大作中提到: 】
: : 好结论。只要统计最后一个数字有多少位就行了。
: : 而且同样位数里面只有第一个是以1开头。
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至此，我们得到了结论，问题成为2的2008次方具有多少位，假设该数字用科学计数法表示成a * 10^b,(1<a<10), 问题转化为是（b+1）=？
对它求lg，则
lg(a * (10^b) )=lg (a)+b =lg(2^2008)=2008*lg2,
b=2008*lg2-lg(a)=2008*0.301-lg(a)=604.468-lg(a),
由于b是整数，并且0<lg（a）<1，因此lg（a）就是604.468的小数部分，即b=604。
因此问题的答案=(b+1)=605（个）首位为1的数字。PS：感谢楼主wonuvy的题目，以及Izual提供的提示和解答。
