time:2015年10月06日 星期二 12时14分51秒

# opencv笔记5:频域和空域的一点理解

空间域和频率域

傅立叶变换是f(t)乘以正弦项的展开，正弦项的频率由u(其实是miu)的值决定。因为积分后左边剩下的为一变量是频率，所以我们说傅立叶变换域是频率域。
（《数字图像处理》冈萨雷斯，中文第三版P128）

当变量t用于说明图像时，我们一般将变量t的域称为空间域。

按《图像处理》（章毓晋）的理解，首先是认同模板操作的，然后借助卷积定理，将模板操作转化为傅立叶的乘积，也就是图像的傅立叶结果F(u,v)与转移函数H(u,v)相乘。

这个方向上看是OK的，无论是推导证明，还是物理意义。但是反过来呢？图像的傅立叶F与转移函数H相乘，这本身有什么意义吗？

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并不需要考虑频率域中傅立叶F和转移函数H相乘的含义。我们就从模板操作考虑就好了。模板操作，就是说用模板框定的范围内的像素点，来更新当前点的灰度值。
更性的时候，有个问题：为什么（空间域的）高斯滤波又叫高斯模糊？所谓模糊不就是平滑的意思吗？平滑和锐化是相对的，平滑可以理解为“去除高频分量”，这不就是在说低通滤波吗？也就是(模糊<=>平滑<=>去除高频分量<=>低通滤波)，这几个概念是等价的。那么，高斯滤波为什么算是低通滤波呢？

再观察几个其他的空间域滤波模板，比如平均模糊，就又一个更大的疑问：模板矩阵中元素都为正数，这是低通滤波（平滑、模糊操作）的特性吗？

是的。But why?这可以从频率域相关公式推导出来：频率域的高斯低通滤波器H(u)，用反傅立叶变换得到的空间域相应的低通滤波器h(x)，发现它们的取值都是正的。因此，使用一个全部带正系数的模板就可以在空间域中实现低通滤波。
同时还有另一个结论：空间域模板尺寸越大，模糊的就越厉害。
（具体细节，参考冈萨雷斯《数字图像处理》第三版中文翻译本，P167~168）

类似地，用两个高斯函数做差，其结果是一个高斯高通滤波器H(u)，用反傅立叶变换得到的空间域相应的低通滤波器h(x)，观察h(x)图像发现中间为正，两边是负的。这说明：频域空间高通滤波器对应的空间域高通滤波器的模板，其系数是：锚点（也就是中心点）是正的，其他点是负的或者是0（4邻域和8邻域还是有点不同的）

我认为看频域滤波的目的，就是了解以上两条结论。

当然，上述两条结论的推导中，还有点小疑问。为什么高斯函数它就是低通滤波器？
因为是H(u)和F(u)相乘，所以观察H(u)的图像就好了。发现低通滤波的H(u)图像，都是中间有隆起，两边衰减。那么相乘的效果就是，中心附近的F(u)会被放大（其实不会放大，因为H(u)中心取值都是1，其他地方都小于1）、保留，就算是衰减，也是从中心往四周衰减的。也就是说，距离H(u)的中心越远，衰减越厉害。那么这个距离，和频率是什么关系？

前面看到，u表示频率。这里其实图像是二维的，准确讲应该是使用H(u,v)和F(u,v)，即u,v都是频率。那么(u,v)元组之间的大小关系，就使用距离来衡量了，也就是“点到点之间的距离”，那么所谓“低频”就是指“那些到中心点(u0,v0)的距离小的点(u,v)”，这些(u,v)点对应的傅立叶函数值F(u,v)，是需要保留的低频分量。

ref:《数字图像处理》冈萨雷斯，中文第三版