问题
有面额10元、5元、2元、1元的硬币，数量分别为3个、5个、7个、12个。现在需要给顾客找零16元，要求硬币的个数最少，应该如何找零？或者指出该问题无解。
分析
元素——状态空间分析大法：四种面额的硬币看作4个元素，对应的数目看作各自的状态空间，遍历状态空间，其它的事情交给剪枝函数。
解的长度固定：4
解的编码：(x1,x2,x3,x4) 其中x1∈[0,1,2,3], x2∈[0,1,2,3,4,5], x3∈[0,1,2,...,7], x4∈[0,1,2,...,12]
求最优解，增添全局变量：best_x, best_num
套用回溯法子集树模板。
代码
'''找零问题'''
n = 4
a = [10, 5, 2, 1] # 四种面额
b = [3, 5, 7, 12] # 对应的硬币数目（状态空间）
m = 53 # 给定的金额
x = [0]*n # 一个解（n元0-b[k]数组）
X = [] # 一组解
best_x = [] # 最佳解
best_num = 0 # 最少硬币数目
# 冲突检测
def conflict(k):
global n,m, x, X, a, b, best_num
# 部分解的金额已超
if sum([p*q for p,q in zip(a[:k+1], x[:k+1])]) > m:
return True
# 部分解的金额加上剩下的所有金额不够
if sum([p*q for p,q in zip(a[:k+1], x[:k+1])]) + sum([p*q for p,q in zip(a[k+1:], b[k+1:])]) < m:
return True
# 部分解的硬币个数超best_num
num = sum(x[:k+1])
if 0 < best_num < num:
return True
return False # 无冲突
# 回溯法（递归版本）
def subsets(k): # 到达第k个元素
global n, a, b, x, X, best_x, best_num
if k == n: # 超出最尾的元素
#print(x)
X.append(x[:]) # 保存（一个解）
# 计算硬币数目，若最佳，则保存
num = sum(x)
if best_num == 0 or best_num > num:
best_num = num
best_x = x[:]
else:
for i in range(b[k]+1): # 遍历元素 a[k] 的可供选择状态: 0, 1, 2, ..., b[k] 个硬币
x[k] = i
if not conflict(k): # 剪枝
subsets(k+1)
# 测试
subsets(0)
print(best_x)效果图
