[家里蹲大学数学杂志]第044期《偏微分方程》试题

1. 设 $0\leq c(x)\leq M$, $f\in L^\infty(\Omega)$, $u\in H^1(\Omega)\cap L^\infty(\Omega)$ 是方程 \[ -\mbox{div }(|\nabla u|^{p-2}\nabla u)+c(x)|u|^{p-2}u=f \] 的弱下解, 其中 $p\geq 2$. 证明: 存在仅依赖于 $M,\ p$ 的常数 $R_0>0$, 使得当 $0<R\leq R_0$ 时, 对任意的 $x^0\in \Omega$, 只要 $B_R=B_R(x^0)\subset \Omega$, 就有 \[ \sup_{B_{R/2}}u \leq C\left( \frac{1}{R^n} \int_{B_R} |u|^pdx \right)^\frac{1}{p} +C||f||_{L^\infty(\Omega)}. \]

2. 设 $u$ 是方程 \[ -\triangle u=f,\quad x\in \bbR^n_+ \] 的解, 则对任何 $x^0\in R^n_+$, $B_R=B_R(x^0)\subset \bbR^n_+$, 都有 \[ [D^2u]_{\alpha; B_{R/2}} \leq C\left( \frac{1}{R^{2+\alpha}} |u|_{0;B_R} +\frac{1}{R^\alpha} |f|_{0;B_R} +[f]_{\alpha;B_R} \right), \] 其中 $C$ 是仅依赖于 $n$ 的常数.