[家里蹲大学数学杂志]第051期乘积与复合函数的高阶微分

1 对 $k$ 阶连续可微函数 $f$, $g$, Leibniz 告诉我们 $$\bex D^k_x(fg)=\sum_{s=0}^k\frac{k!}{(k-s)!s!}D^{k-s}_x(f)\cdot D^s_x(g). \eex$$

2 对复合函数 $f(y(x))$, Fa\'a de Bruno 于 1857 年告诉我们 $$\bee\label{Bruno} D^k_x(f) =\sum \frac{k!}{l_1!l_2!\cdots l_k!} f^{(p)} \sex{\frac{y'}{1!}}^{l_1} \sex{\frac{y''}{2!}}^{l_2} \cdots \sex{\frac{y^{(k)}}{k!}}^{l_k}, \eee$$ 其中 $$\bex f'=\frac{\rd f}{\rd y},\quad f''=\frac{\rd ^2 f}{\rd y^2},\quad \cdots \quad f^{(k)} =\frac{\rd ^k f}{\rd y^k}, \eex$$ 而且 \eqref{Bruno} 中的求和跑遍所有满足 $$\bee\label{sum} l_1+2l_2+\cdots+kl_k=k \eee$$ 的非负整数 $l_1$, $l_2$, $\cdots$, $l_k$, $p=l_1+l_2+\cdots+l_k$.

例子. 要求 $f(y(x))$ 对 $x$ 的三阶导数, 则由 $$\bex l_1+2l_2+3l_3=3\ra \left\{\ba{ll} l_1=3,\quad p=3;\\ l_1=1,\quad l_2=1,\quad p=2;\\ l_3=1,\quad p=1. \ea\right. \eex$$ 知 $$\bex D^3_x(f)=f'''y'^3+3f''y'y''+f'y'''. \eex$$