[再寄小读者之数学篇](2014-06-20 渐近等式中的待定常数)

计算以下渐近等式

$$\bex \int_0^1 \cfrac{x^{n-1}}{1+x}\rd x=\cfrac{a}{n}+\cfrac{b}{n^2}+o\sex{\cfrac{1}{n^2}}\quad(n\to\infty) \eex$$ 中的待定常数 $a,b$.

 

解答:

$$\beex \bea a&=\vlm{n}n\int_0^1 \cfrac{x^{n-1}}{1+x}\rd x\\ &=\vlm{n}\int_0^1 nx^{n-1}\sex{\cfrac{1}{1+x}-\cfrac{1}{2}}\rd x+\cfrac{1}{2}\\ &=\vlm{n}\int_0^{1-\delta} nx^{n-1}\sex{\cfrac{1}{1+x}-\cfrac{1}{2}}\rd x+\int_{1-\delta}^1 nx^{n-1}\sex{\cfrac{1}{1+x}-\cfrac{1}{2}}\rd x+\cfrac{1}{2}\\ &=\cfrac{1}{2}, \eea \eeex$$ $$\beex \bea b&=\vlm{n}\sez{n^2\int_0^1 \cfrac{x^{n-1}}{1+x}\rd x-\cfrac{n}{2}}\\ &=\vlm{n}n\int_0^1 nx^{n-1}\sex{\cfrac{1}{1+x}-\cfrac{1}{2}}\rd x\\ &=\vlm{n}n\int_0^1 \sex{\cfrac{1}{1+x}-\cfrac{1}{2}}\rd x^n\\ &=\vlm{n}n\int_0^1 \cfrac{x^n}{(1+x)^2}\rd x\\ &=\vlm{n}\cfrac{n}{n+1}\int_0^1 \cfrac{(n+1)x^n}{(1+x)^2}\rd x\\ &=\cfrac{1}{4}\quad\sex{\mbox{同 }a\mbox{ 的计算, 利用分段考虑}}. \eea \eeex$$