一、计算题 ($6\times 5'=30'$)
1. $\dps{\vlm{n} \sex{\frac{1}{2n^2+1}+\frac{2}{2n^2+2}+\cdots+\frac{n}{2n^2+n}}}$.
2. $\dps{\lim_{y\to 0}\int_y^{\frac{\pi}{2}+y}\frac{\cos x\rd x}{1+\sin x+y^2}}$.
3. $\dps{\lim_{y\to 0}\frac{\dps{\int_0^{x^2}\sin^\frac{3}{2}t\rd t}}{\dps{\int_0^x t(t-\sin t)\rd t}}}$.
4. 设 $\dps{\Phi(x)=\int_x^{x^2} \frac{\sin xy}{y}\rd y\ (x>0)}$, 求 $\Phi'(x)$.
5. $\dps{\iint_D (x+y)\cos(x-y)\rd x\rd y}$, 其中 $$\bex D=\sed{(x,y);0\leq x+y\leq \pi,\ 0\leq x-y\leq \frac{\pi}{2}}. \eex$$
二、解答题 ($3\times 10'=30'$)
1. 设 $f_n(x)=n^\al xe^{-nx}\ (n=1,2,\cdots)$, 试问 $\al$ 为何值时, $\sed{f_n(x)}$ 在 $[0,1]$ 上收敛? 当 $\al$ 为何值时, $\sed{f_n(x)}$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛?
2. 求幂级数 $\dps{\vsm{n} \frac{x^{n+1}}{2^n\cdot n}}$ 的收敛域与和函数.
3. 已知 $C$ 为平面上任一简单闭曲线, 试问常数 $a$ 等于何值时, 曲线积分 $$\bex I=\oint_C \frac{x\rd x-ay\rd y}{x^2+y^2}-0, \eex$$ 并说明理由.
三、证明题 ($6\times 15'=90'$)
1. 设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上来内连续, 在 $(0,1)$ 内可导, 且 $f(0)=0$, $f'(x)>0\ (x\in (0,1))$. 证明: 存在 $\xi,\eta\in (0,1)$, 使得 $\xi+\eta=1$ 并且 $$\bex \frac{f'(\xi)}{\xi}=\frac{f'(\eta)}{\eta}. \eex$$
2. 设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上可导, 值域含于 $(0,1)$ 中, 且该函数的导数不取 $1$. 证明: 方程 $f(x)=x$ 在 $(0,1)$ 内有唯一的实根.
3. 设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上可导, $f(0)=0$, 且当 $x\in (0,1)$ 时, $0<f'(x)<1$. 证明: $$\bex \int_0^1 f^3(x)\rd x<\sez{\int_0^1 f(x)\rd x}^2. \eex$$
4. 设 $a_n>0$, $S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n\ (n=1,2,\cdots)$, 且 $\dps{\vsm{n} a_n}$ 发散. 证明: (1) $\dps{\vsm{n}\frac{a_n}{S_n}}$ 发散; (2) $\dps{\vsm{n}\frac{a_n}{S_n^2}}$ 收敛.
5. 设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续, 证明: $$\bex \int_0^1 \rd x\int_x^1 \rd y\int_x^y f(x)f(y)f(z)\rd z=\frac{1}{6}\sez{\int_0^1 f(t)\rd t}^3. \eex$$
6. 设 $f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}\phi(x,y)$, 其中 $\phi(x,y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续, 证明: $f(x,y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微的充要条件是 $\phi(0,0)=0$.
