[再寄小读者之数学篇](2014-07-27 H1 中的有界集与弱收敛极限)

简介: H1H10 的对偶空间, 定义域为 [0,1]. 试证: (1) \sedhsin(2πhx); h>0H1 中有界; (2) 试求 hsin(2πhx)H1 中的弱极限.

H1H10 的对偶空间, 定义域为 [0,1]. 试证:

(1) \sedhsin(2πhx); h>0H1 中有界;

(2) 试求 hsin(2πhx)H1 中的弱极限.

 

证明:

(1) 对  fH10, \senfH11, \beex \bea \sef{h\sin (2\pi hx),f(x)}&=\int_0^1 h\sin (2\pi hx)f(x)\rd x\\ &=-\frac{1}{2\pi} \int_0^1 f(x)\rd \cos(2\pi hx)\\ &=\frac{1}{2\pi} \int_0^1 f'(x)\cos (2\pi hx)\rd x. \eea \eeex

\bex\senhsin(2πhx)H112π.\eex

(2) 由 Riemann-Lebesgue 引理, \bex\sefhsin(2πhx),f(x)=12π10f(x)cos(2πhx)\rdx0\sexh.\eex

\bexhsin(2πhx)0, in H1.\eex

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