设 H−1 是 H10 的对偶空间, 定义域为 [0,1]. 试证:
(1) \sedhsin(2πhx); h>0 在 H−1 中有界;
(2) 试求 hsin(2πhx) 在 H−1 中的弱极限.
证明:
(1) 对 ∀ f∈H10, \senfH1≤1, \beex \bea \sef{h\sin (2\pi hx),f(x)}&=\int_0^1 h\sin (2\pi hx)f(x)\rd x\\ &=-\frac{1}{2\pi} \int_0^1 f(x)\rd \cos(2\pi hx)\\ &=\frac{1}{2\pi} \int_0^1 f'(x)\cos (2\pi hx)\rd x. \eea \eeex 故 \bex\senhsin(2πhx)H−1≤12π.\eex
(2) 由 Riemann-Lebesgue 引理, \bex\sefhsin(2πhx),f(x)=12π∫10f′(x)cos(2πhx)\rdx→0\sexh→∞.\eex 故 \bexhsin(2πhx)⇀0, in H−1.\eex