[家里蹲大学数学杂志]第187期实数集到非负实数集的双射有无穷多个间断点

设 $f:(-\infty,+\infty)\to [0,\infty)$ 是双射, 证明: $f$ 有无穷多个间断点.

证明: 用反证法. 若 $f$ 仅有有穷多个间断点 $x_1<x_2<\cdots<x_n$. 则 $f$ 在 $(x_{i-1},x_i)\ (i=1,\cdots,n+1, x_0=-\infty, x_{n+1}=+\infty)$ 上连续单射. 由此不难推出 $f$ 在 $(x_{i-1},x_i)$ 上严格单调\footnote{否则, $\exists\ t_1<t_2<t_3,\st f(t_1)\leq f(t_2)\geq f(t_3)$ 或 $f(t_1)\geq f(t_2)\leq f(t_3)$.}. 于是 $f(x_{i-1},x_i)=(m_i,M_i)$ 为某个区间 ($m_i=\inf_{(x_{i-1},x_i)}f,\ M_i=\sup_{(x_{i-1},x_i)}f.$). 又由 $f$ 在各 $(x_{i-1},x_i)$ 上的连续性及单射知各 $(m_i,M_i)\ (i=1,\cdots,n+1)$ 互不相交. 注意到

$$\bex [0,\infty)\bs \bigcup_{i=1}^n (m_i,M_i) \eex$$ 至少包含 $n+1$ 个互异的点 ($m_i$ 从小到大排序后, 不妨设 $m_1<m_2<\cdots<m_{n+1}$, 则 $\sed{0},[M_1,m_2],\cdots,[M_n,m_{n+1}]$ 各至少含一点.) $$\bex y_0<y_1<\cdots<y_n. \eex$$ 由 $f$ 是单射知这些 $\sed{y_i}$ 仅能在 $x_j,\ j=1,\cdots,n$ 处取得. 于是 $$\bex \sed{y_0,y_1,\cdots,y_n}\subset \sed{f(x_1),\cdots,f(x_n)}\ra n+1\leq n. \eex$$ 这是一个矛盾. 故有结论.