[PeterDLax著泛函分析习题参考解答]第3章 Hahn-Banach 定理

1. 证明 $(10'$).

 

证明: $\ra$: 由 $p_K(x)<1$ 知

$$\bex \exists\ 0<a<1,\st \cfrac{x}{a}\in K. \eex$$ 既然 $0$ 是 $K$ 的内点, $$\bex \forall\ y,\ \exists\ \ve=\ve(y)>0,\st |t|<\cfrac{\ve}{1-a}\ra ty\in K. \eex$$ 于是由 $K$ 的凸性, $$\bex |t|<\ve\ra x+ty =a\cdot \cfrac{x}{a} +(1-a)\cdot\sex{\cfrac{t}{1-a}y}\in K. \eex$$ $\ra$: 设 $x$ 为 $K$ 的内点. 若 $x=0$, 则 $p_K(x)=0$. 若 $x\neq 0$, 则 $$\bex \exists\ \ve=\ve(x)>0,\st |t|<\ve\ra x+tx\in K. \eex$$ 特别地, $$\bex \cfrac{x}{\cfrac{1}{1+\cfrac{\ve}{2}}}=x+\cfrac{\ve}{2}x\in K. \eex$$ 于是 $$\bex p_K(x)\leq \cfrac{1}{1+\cfrac{\ve}{2}}<1. \eex$$

 

2. 证明定理 4.

 

证明: (ii) 的证明与 (i) 类似, 而只证 (i). 设 $K=\sed{x\in X; p(x)<1}$, 则对 $\forall\ x,y\in K$, $0<a<1$,

$$\beex \bea p(ax+(1-a)y)&\leq p(ax)+p((1-a)y)\\ &=ap(x)+(1-a)p(y)\\ &<a+(1-a)\\ &=a;\\ ax+(1-a)y&\in K. \eea \eeex$$ 另外, $0\in K$, 且对 $\forall\ y\neq 0$, 只要 $$\bex |t|<\min\sed{\cfrac{1}{|p(y)|+1},\cfrac{1}{|p(-y)|+1}}, \eex$$ 就有 $$\beex \bea t>0&\ra p(ty)=t\cdot p(y)<\cfrac{p(y)}{|p(y)|+1}<1,\\ t<0&\ra p(ty)=-t\cdot p(-y)<\cfrac{p(-y)}{|p(-y)|+1}<1. \eea \eeex$$

 

3. 证明: 若条件 (17) 改为 $p({\bf A} x)\leq p(x)$, 定理 7 仍成立.

 

证明: 检查定理 7 的证明即知结论成立.

 

错误指出:

 

Page 19, 定理 5 第 2 行, 数域应该去掉.