[再寄小读者之数学篇](2014-09-22 北京师范大学考研试题---渐近估计)

[裴礼文, 数学分析中的典型问题与方法 (第 2 版), 北京: 高等教育出版社, 2006 年] (Page 436, T 4.5.14) 若函数 $p(t)$ 在 $[0,+\infty)$ 上可积, 且当 $t\to+\infty$ 时, $p(t)=o(t^N)$ ($N$ 为正整数). 又 $\lm<0$, 证明: 当 $t\to+\infty$ 时,

$$\bex \int_t^{+\infty} p(\tau)e^{\lm \tau}\rd \tau =o(t^{N+1})e^{\lm t}. \eex$$

证明: 原题给的是 $p(t)$ 连续. 由 $p(t)=o(t^N)$ $(t\to+\infty)$ 知

$$\bex \forall\ \ve>0,\ \exists\ T\geq 1,\st t\geq T\ra |p(t)|\leq \ve t^N. \eex$$ 于是当 $t\geq T$ 时, $$\beex \bea \sev{\int_t^{+\infty} p(\tau)e^{\lm \tau}\rd \tau} &\leq \ve \cdot \int_t^{+\infty} \tau^N e^{\lm \tau}\rd \tau\\ &<\ve \cdot C t^N e^{\lm t}. \eea \eeex$$ 这里, 最后一步可通过分部积分得到, 且 $C$ 依赖于 $\lm$, $N$.