(from M.J. Shu) 设立体 $\vSa$ 由 $x^2+y^2=2z$ 与 $z=4-\sqrt{x^2+y^2}$ 围成, 求 $\vSa$ 的体积与表面积.
解答: 该区域由旋转抛物面与圆锥面围成. 所求体积为 $$\beex \bea V&=\int_0^2 \pi \cdot 2z\rd z +\int_2^4 \pi \cdot (4-z)^2\rd z\\ &\quad\sex{x^2+y^2=2z,\quad x^2+y^2=(4-z)^2}\\&=4\pi+\frac{8\pi}{3}\\ &=\frac{20\pi}{3}. \eea \eeex$$ 所求表面积为 $$\beex \bea S&=\iint_{x^2+y^2\leq 4}\sex{\sqrt{1+z_1'^2+z_2'^2}+ \sqrt{1+z_2'^2+z_2'^2}}\rd x\rd y\\ &\quad\sex{z_1=\frac{x^2+y^2}{2},\quad z_2=4-\sqrt{x^2+y^2}}\\ &=\iint_{x^2+y^2\leq 4} \sqrt{1+x^2+y^2}+\sqrt{2}\rd x\rd y\\ &=\int_0^2 \sex{\sqrt{1+r^2}+\sqrt{2}}\cdot 2\pi r\rd r\\ &=\frac{2}{3}\sex{5\sqrt{5}+6\sqrt{2}-1}\pi. \eea \eeex$$
