[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题1.7

7. 设 $A_j\in M_n$, $j=1,\cdots,m$, $m>n$, 且 $\dps{\sum_{j=1}^m A_j}$ 非奇异 (即可逆). 证明: 存在 $S\subset \sed{1,2,\cdots,m}$ 满足 $|S|\leq n$ 且 $\dps{\sum_{j\in S}A_j}$ 非奇异.

证明: 对 $m$ 作数学归纳法. 当 $m=n+1$ 时, 由 [Amer. Math. Monthly 109 (2002), 665--666] 及 [R.S. Costas-Santos, On the elementary symmetric functions of a sum of matrices, arXiv: 0612464] 知 $$\bex \sum_{k=1}^{n+1}(-1)^k \sum_{1\leq i_1<\cdots<i_k\leq n+1}\det(A_{i_1}+\cdots+A_{i_k})=0. \eex$$ 而结论成立. 一般的, 假设结论对 $\leq m-1\ (m\geq n+2)$ 个矩阵相加成立, 则当是 $m$ 个矩阵相加时, $$\bex A_1+\cdots+A_m=(A_1+\cdots+A_{m-2})+(A_{m-1}+A_m), \eex$$ 而由 $m-1$ 个矩阵相加的情形, $A_{i_1}+\cdots+A_{i_k}\ (k\leq n)$ 可逆. 若 $i_k\leq m-2$, 则已证; 若 $i_k=A_{m-1}+A_m$, 则 $$\bex A_{i_1}+\cdots+A_{i_k} =A_{i_1}+\cdots+A_{i_{k-1}}+A_{m-1}+A_m \eex$$ 可逆, 此时, 若 $k+1\leq n$, 则也已证, 若 $k+1=n+1$, 则由 $n+1$ 个矩阵相加的情形, 也有结论成立.