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[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题1.9

2014-10-29 532

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简介： 9. 证明对任意的复方阵

$A$ ,

$\bex \rho(A)\leq w(A)\leq \sen{A}_\infty. \eex$ 证明: 对

$\lm\in \sigma(A)$ , $$\bex \exists\ x:\ \sen{x}_2=1,\st Ax=\lm x.

9. 证明对任意的复方阵 $A$ ,

$\bex \rho(A)\leq w(A)\leq \sen{A}_\infty. \eex$

证明: 对 $\lm\in \sigma(A)$ ,

$\bex \exists\ x:\ \sen{x}_2=1,\st Ax=\lm x. \eex$ 而

$\bex |\lm|=\sev{\sef{Ax,x}}\leq w(A). \eex$ 让

$\lm$ 跑遍

$\sigma(A)$ , 有

$\rho(A)\leq w(A).$ 另外,

$w(A)\leq \sen{A}_\infty$ 已于题 4 中证出.

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张祖锦

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张祖锦

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.14

14. (Shao) 设非负方阵

$A$ 具有 (6.22) 的形式并且

$A$ 没有零行也没有零列. 证明:

$A$ 不可月且非本原指标为

$k$ 当且仅当乘积

$\bex A_{12}A_{23}\cdots A_{k-1,k}A_{k1} \eex$ 是本原矩阵.

张祖锦

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[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.4

4. 设

$A$ 是个不可约非负方阵,

$0\leq t\leq 1$ , 则

$\bex \rho[tA+(1-t)A^T]\geq \rho(A). \eex$ 证明: (1).

张祖锦

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资源调度

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.7

7. 设

$A$ 是个非负幂零矩阵, 即存在正整数

$p$ 使得

$A^p=0$ . 则

$A$ 置换相似于一个上三角矩阵. 证明: 由

$A^p=0$ 知

$\sigma(A)=0$ , 而

$\rho(A)=0$ .

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791 0 0

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[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.3

3. 设

$\lm$ 是一个复数. 证明: 存在非负方阵

$A$ 使得

$\lm$ 是

$A$ 的一个特征值. 证明: (1). 首先

$A$ 的阶数须

$\geq 3$ . 当

$n=1$ 时, 非负方阵的特征值为非负实数.

张祖锦

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[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题5.1

$A\in M_n$ 称为正交投影矩阵如果

$A$ 是 Hermite 矩阵且幂等:

$\bex A^*=A=A^2. \eex$ 证明: 若

$A,B\in M_n$ 为正交投影矩阵, 则

$\sen{A-B}_\infty \leq 1$ .

张祖锦

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张祖锦

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题4.12

12. 设

$p,q$ 为正实数, 满足

$\dps{\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1}$ , 则对

$A,B\in M_n$ 和酉不变范数有 $$\bex \sen{AB}\leq \sen{|A|^p}^\frac{1}{p} \sen{|B|^q}^\frac{1}{q}.

张祖锦

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张祖锦

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题4.7

7. 设

$A_0\in M_n$ 正定,

$A_i\in M_n$ 半正定,

$i=1,\cdots,k$ , 则 $$\bex \tr \sum_{j=1}^k \sex{\sum_{i=0}^jA_i}^{-2}A_j

张祖锦

718 0 0

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[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题4.10

10. 设

$A,B\in M_n$ 并且

$AB$ 为 Hermite 矩阵, 则对任何酉不变范数

$\bex \sen{AB}\leq \sen{\Re(BA)}. \eex$ 证明: (1).

张祖锦

575 0 0

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[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题4.11

11.

$M_n$ 上的范数

$\sen{\cdot}$ 称为是对称的, 若 $$\bex \sen{ABC}\leq \sen{A}_\infty\sen{C}_\infty \sen{B},\quad \forall\ A,B,C\in M_n.

张祖锦

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[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题4.15

15. (Fan-Hoffman) 设

$A,H\in M_n$ , 其中

$H$ 为 Hermite 矩阵, 则

$\bex \sen{A-\Re A}\leq \sen{A-H} \eex$ 对任何酉不变范数成立.

张祖锦

617 0 0

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