[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题1.10

10. 矩阵 $A=(a_{ij})\in M_n$ 称为严格对角占优, 如果 $$\bex |a_{ii}|>\sum_{j\neq i}|a_{ij}|,\quad i=1,\cdots,n. \eex$$ 证明: 严格对角占优矩阵是可逆的.

证明: 用反证法. 若 $A$ 不可逆, 则 $Ax=0$ 有非零解 $x=(x_1,\cdots,x_n)^T$. 记 $$\bex |x_k|=\max_{1\leq j\leq n}|x_j|>0, \eex$$ 则由 $$\bex \sum_{j=1}^n a_{kj}x_j=0 \eex$$ 知 $$\beex \bea \sev{\sum_{j\neq k}a_{kj}x_j} &=\sev{a_{kk}x_k} =|a_{kk}|\cdot |x_k|\\ &>\sum_{j\neq k}|a_{kj}|\cdot |x_k|\\ &\geq \sum_{j\neq k}|a_{kj}|\cdot |x_j|\\ &\geq \sev{\sum_{j\neq k}a_{kj}x_j}. \eea \eeex$$ 这是一个矛盾. 故有结论.